Про число піщинок або Псамміт () — праця Архімеда, давньогрецького математика III століття до нашої ери, в якій він поставив собі за мету визначити верхню межу кількості піщинок, що можгна помістити у Всесвіті. Для цього Архімеду довелося оцінити розмір Всесвіту та винайти спосіб записувати про надзвичайно великі числа.
Праця має близько восьми сторінок у латинському перекладі та адресована сіракузькому царю Гелону II (сину Гієрона II). Її вважають найдоступнішою роботою АрхімедаArchimedes, The Sand Reckoner 511 R U, by Ilan Vardi, accessed 28-II-2007..
Запис великих чисел «Періоди» й «порядки» в сучасних позначенняхПеріодПорядокІнтервал значеньlog10 інтервалу11(1, Ơ], де«одиниця другого порядку»,Ơ = 108(0, 8]2(Ơ, Ơ2](8, 16]⋅⋅⋅k(Ơk − 1, Ơk](8k − 8, 8k]⋅⋅⋅Ơ(ƠƠ − 1, Ƥ], де«одиниця другого періоду»,Ƥ = ƠƠ = 108(8 − 8, 8]= (799,999,992, 800,000,000]21(Ƥ, ƤƠ](8, 8 × (108 + 1)]= (800,000,000, 800,000,008]2(ƤƠ, ƤƠ2](8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)]⋅⋅⋅k(ƤƠk − 1, ƤƠk](8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)]⋅⋅⋅Ơ(ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ]= (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2](8 × (2 − 1), 8 × (2)]= (1.6 − 8, 1.6]= (1,599,999,992, 1,600,000,000]⋅⋅⋅Ơ1(ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ](8 × (108 − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + 1)]= (79,999,999,200,000,000, 79,999,999,200,000,008]2(ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2](8 × (108 × (108 − 1) + 1), 8 × (108 × (108 − 1) + 2)]⋅⋅⋅k(ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk](8 × (108 × (108 − 1) + k − 1),8 × (108 × (108 − 1) + k)]⋅⋅⋅Ơ(ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ]= (ƤƠƠ−1, ƤƠ](8 × (2 − 1), 8 × (2)]= (8 − 8, 8]= (79,999,999,999,999,992, 80,000,000,000,000,000] Спершу Архімедові довелося створити систему назв для великих чисел. Система числення, використовувана на той час, давала змогу виражати числа до міріади (μυριάς — 10 000), а використовуючи саме слово «міріада», можна було безпосередньо розширити її для позначення всіх чисел до міріади міріад (108). Архімед назвав числа до 108 «першим порядком», а саме число 108 — «одиницею другого порядку». Кратні цієї одиниці утворювали другий порядок, аж до цієї одиниці, взятої міріада міріад разів: 108·108=1016. Це ставало «одиницею третього порядку», кратні якої становили третій порядок і так далі. У такий спосіб Архімед продовжував називати числа аж до міріади міріад одиниці 108-го порядку, тобто (108)^(108)
Після цього Архімед назвав визначені ним порядки «порядками першого періоду», а останній із них, , — «одиницею другого періоду». Далі він побудував порядки другого періоду, беручи кратні цієї одиниці за аналогією з тим, як були побудовані порядки першого періоду. Продовжуючи таким чином, він зрештою дійшов до порядків міріада-міріадного періоду. Найбільше число, назване Архімедом, — це останнє число цього періоду, тобто
Інший спосіб описати це число — одиниця з вісімдесятьма квадрильйонами (80·1015) нулів.
Система Архімеда нагадує позиційну систему числення з основою 108, що є вражаючим, оскільки давні греки використовували дуже просту систему запису чисел, у якій застосовували 27 різних літер абетки для позначення одиниць від 1 до 9, десятків від 10 до 90 і сотень від 100 до 900.
Закон степенів Архімед також відкрив і довів закон степенів , необхідний для оперування степенями з деякою основою . (Зокрема, у цьому випадку для степенів числа 10.)
Оцінка розміру Всесвіту Після цього Архімед оцінив верхню межу кількості піщинок, необхідних для заповнення Всесвіту. Для цього він використав геліоцентричну модель Аристарха Самоського. Оригінальна праця Аристарха не збереглася. Однак ця робота Архімеда є одним із небагатьох уцілілих посилань на його теоріюAristarchus biography at MacTutor, accessed 26-II-2007., згідно з якою Сонце залишається нерухомим, тоді як Земля обертається навколо нього. За словами самого Архімеда:
Причиною великого розміру цієї моделі є те, що греки не могли спостерігати зоряний паралакс за допомогою доступних тоді методів, що означає, що будь-який паралакс є надзвичайно малим, а отже, зорі мають розташовуватися на великих відстанях від Землі (за умови істинності геліоцентризму).
За Архімедом, Аристарх не вказав відстань від зір до Землі. Тому Архімед мусив зробити такі припущення: Всесвіт має сферичну форму відношення діаметра Всесвіту до діаметра орбіти Землі навколо Сонця дорівнює відношенню діаметра орбіти Землі навколо Сонця до діаметра Землі. Це припущення також можна сформулювати так: зоряний паралакс, спричинений рухом Землі по орбіті, дорівнює сонячному паралаксу, спричиненому рухом навколо Землі. Це давало пропорцію:
Щоб отримати верхню межу, Архімед зробив такі припущення щодо їхніх розмірів: периметр Землі не перевищує 300 міріад стадій (5.55·105 км, завищена оцінка приблизно у 40 разів); Місяць не більший за Землю, а Сонце не більш ніж у тридцять разів перевершує за розміром за Місяць (1.65·107 км, завищена оцінка приблизно у 10 разів); кутовий діаметр Сонця, видимий із Землі, перевищує 1/200 прямого кута (π/400 радіанів = 0,45°, завищена оцінка, але точна в межах 20 % від істинного значення). У підсумку Архімед дійшов висновку, що діаметр Всесвіту не перевищує 1014 стадій (у сучасних одиницях — приблизно 2 світлові роки), і що для його заповнення потрібно не більш як 1063 піщинок. За цими оцінками, в уявному експерименті Архімеда діаметр кожної піщинки становив би приблизно 19 мкм (0.019 мм).
Обчислення кількості піщинок у Всесвіті Аристарха
Архімед стверджував, що сорок макових зернин, покладених поруч, дорівнюють одному грецькому дактилю (ширині пальця), що становив приблизно 19 мм у довжину. Оскільки об'єм зростає як куб лінійного розміру («Адже доведено, що кулі мають між собою потрійне відношення діаметрів»), то сфера діаметром в один дактиль містила б (у сучасній системі числення) 403, або 64 000 макових зернин.
Далі він без доведення припустив, що кожна макова зернина може містити міріаду (10 000) піщинок. Перемноживши ці два числа, він отримав 640 000 000 як кількість гіпотетичних піщинок у сфері діаметром в один дактиль.
Щоб спростити подальші обчислення, він округлив 640 мільйонів до одного мільярда, зауваживши лише, що перше число менше за друге, і що тому обчислена згодом кількість піщинок перевищуватиме їхню реальну кількість. Нагадаємо, що метою Архімеда в цьому творі було показати, як виконувати обчислення з числами, які раніше вважали неможливо великими, а не точно визначити кількість піщинок, що могли б уміститися у Всесвіті.
Довжина грецького стадія становила 600 грецьких футів, а кожен фут дорівнював 16 дактилям, отже, в одному стадії було 9 600 дактилів. Архімед округлив це число до 10 000 (міріади), щоб полегшити обчислення, знову ж таки зауваживши, що отримане число перевищуватиме реальну кількість піщинок.
Куб числа 10 000 дорівнює трильйону (1012); помноживши мільярд (кількість піщинок у сфері діаметром в один дактиль) на трильйон (кількість таких сфер у сфері діаметром в один стадій), отримуємо 1021 — кількість піщинок у сфері діаметром в один стадій.
Архімед оцінив діаметр Всесвіту Аристарха як 1014 стадіїв, тож у ньому відповідно містилося б (1014)3 сфер діаметром в один стадій, тобто 1042. Помноживши 1021 на 1042, отримуємо 1063 — кількість піщинок у Всесвіті АристархаAnnotated translation of The Sand Reckoner Cal State University, Los Angeles.
Виходячи з оцінок Архімеда: міріада (10 000) піщинок у маковій зернині; 64 000 макових зернин у сфері діаметром в один дактиль; довжина стадія — 10 000 дактилів; і приймаючи 19 мм як ширину дактиля, діаметр типової піщинки Архімеда становив би 18,3 мкм.
Додаткові обчислення У процесі Архімед виконав кілька цікавих додаткових обчислень і вимірювань. Одне з них полягало в оцінці кутового розміру Сонця, видимого із Землі. Метод Архімеда особливо цікавий тим, що враховує скінченний розмір зіниці окаSmith, William — A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880), p. 272 і, можливо, є першим відомим прикладом експериментування в психофізиці — галузі психології, що досліджує механізми людського сприйняття і розвиток якої зазвичай пов'язують з Германом фон Гельмгольцом. Інше цікаве обчислення стосується сонячного паралаксу та різниці відстаней між спостерігачем і Сонцем залежно від того, чи спостереження ведуть із центра Землі, чи з її поверхні під час сходу Сонця. Можливо, це перше відоме обчислення, що стосується сонячного паралаксу.
Цитата
Примітки
Література
The Sand-Reckoner, by Gillian Bradshaw. Forge (2000), 348pp, . This is a historical novel about the life and work of Archimedes.
Посилання
Оригінальний грецький текст «The Sand Reckoner» (англійський переклад з примітками) «Arenario» (італійський переклад із примітками про Архімеда, грецьке позначення чисел та одиниці вимірювання). Вихідний файл грецького тексту Аренаріуса (для LaTeX). Ilan Vardi, «The Sand Reckoner» (містить дослівну англійську версію оригінального грецького тексту)