Лінійна модель Лінійна модель У статистиці лінійна модель — будь-яка модель, яка передбачає системи. Найчастіше цей термін використовують для регресійних моделей і його часто сприймають як синонім лінійної регресійної моделі. Однак цей термін також використовується в аналізі часових рядів з іншим значенням. У кожному випадку позначення «лінійний» використовують для ідентифікації підкласу моделей, для яких можливе суттєве зменшення складності відповідної статистичної теорії.
Означення Основна стаття: Лінійна регресія
Для випадку регресії, Статистична модель виглядає наступним чином. Нехай задано (випадкову) вибірку , зв'язок між спостереженнями та незалежними змінними , який задано як
де можуть бути нелінійними функціями. Тут — випадкові величини, що визначають помилки у взаємозв'язку. Лінійна частина позначення пов'язана з появою коефіцієнтів регресії у вищенаведеному співвідношенні лінійним чином. Навпаки, можна сказати, що прогнозовані значення, які відповідають наведеній вище моделі, а саме
є лінійними функціями від .
Використовуючи Метод найменших квадратів, оцінки невідомих параметрів визначаються шляхом мінімізації функції суми квадратів
Звідси легко побачити, що "лінійний" аспект моделі означає наступне:
Функція, яку потрібно мінімізувати, є квадратичною функцією від , для якої мінімізація є відносно простою задачею; Похідні функції є лінійними функціями від , що дозволяє легко знайти мінімальні значення; Мінімальні значення є лінійними функціями спостережень ; Мінімізуючі значення є лінійними функціями випадкових похибок , що дозволяє відносно легко визначити статистичні властивості оцінок .
Моделі часових рядів Модель авторегресії з ковзним середнім є прикладом лінійної моделі часових рядів. У цій моделі значення часового ряду моделюються у вигляді
де — лінійні функції попередніх значень цього ж ряду та поточних та минулих значень нововведень, які є випадковими змінними , представляючи нові випадкові ефекти, що з'являються в певний час, але також впливають на значення в пізніші моменти часу.
Використання терміна "лінійна модель" в цьому контексті означає структуру залежності у представленні як лінійної функції минулих значень того ж часового ряду та поточних і минулих значень нововведень. Це особливий аспект, що дозволяє відносно просто вивести взаємозв'язки для середнього значення та коваріаційних властивостей часового ряду.
Інші застосування в статистиці Інколи використовують термін "нелінійна модель" для контрасту з моделями, що мають лінійну структуру, хоча зазвичай термін "лінійна модель" не застосовується безпосередньо. Одним з прикладів такого використання є .
Див. також
Лінійна система Лінійна регресія Статистична модель
Література
Priestley, M.B. (1988). Аналіз нелінійних та нестаціонарних часових рядів. Academic Press. ISBN 0-12-564911-8