У теорији вероватноће и математичкој физици, случајна матрица је случајна променљива чије су вредности матрице — односно, матрица у којој су неки или сви њени елементи случајно одабрани из расподеле вероватноће. Теорија случајних матрица проучава особине случајних матрица, често у случајевима када оне постају велике. Она пружа технике попут теорије средњег поља, дијаграмских метода, метода шупљине или метода реплика за израчунавање величина као што су трагови, спектралне густине или скаларни производи између сопствених вектора. Многи физички феномени, попут спектра језгара тешких атома, топлотне проводљивости у решетки или појаве квантног хаоса, могу се математички моделовати као проблеми који се тичу великих, случајних матрица.
Историја
Теорија случајних матрица први пут је привукла пажњу ван математичке литературе у контексту нуклеарне физике. Експерименти које су спровели Енрико Ферми и други показали су доказе да се појединачни нуклеони не могу апроксимирати тако да се крећу независно, што је навело Нилса Бора да формулише идеју о сложеном језгру. Пошто није било знања о директним интеракцијама између нуклеона, Јуџин Вигнер и Ленард Ајзенбад су апроксимирали да се нуклеарни хамилтонијан може моделовати као случајна матрица. За веће атоме, расподела енергетских сопствених вредности хамилтонијана могла се израчунати како би се апроксимирали ударни пресеци расејања позивањем на Вишартову расподелу.
Примене
Физика
У нуклеарној физици, случајне матрице је увео Јуџин Вигнер да би моделовао језгра тешких атома. Вигнер је претпоставио да размаци између линија у спектру језгра тешког атома треба да личе на размаке између сопствених вредности случајне матрице и да треба да зависе само од класе симетрије основне еволуције. У физици чврстог стања, случајне матрице моделују понашање великих неуређених хамилтонијана у апроксимацији средњег поља.
У квантном хаосу, Боигас–Ђанони–Шмитова (БГС) хипотеза тврди да се спектрална статистика квантних система чији класични пандани показују хаотично понашање описује теоријом случајних матрица.
У квантној оптици, трансформације описане случајним унитарним матрицама су кључне за демонстрацију предности квантног у односу на класично рачунарство (видети, на пример, модел бозонског узорковања). Штавише, такве случајне унитарне трансформације могу се директно имплементирати у оптичком колу мапирањем њихових параметара на компоненте оптичког кола (тј. раздвајаче зрака и мењаче фазе).
Математичка статистика и нумеричка анализа
У мултиваријационој статистици, случајне матрице је увео Џон Вишарт, који је настојао да процени матрице коваријансе великих узорака. Неједнакости типа Черновљеве, Бернштајнове и Хефдингове обично се могу појачати када се примене на максималну сопствену вредност (тј. сопствену вредност највеће магнитуде) коначног збира случајних ермитских матрица. Теорија случајних матрица се користи за проучавање спектралних својстава случајних матрица — као што су коваријансне матрице узорка — што је од посебног интереса у високодимензионалној статистици. Теорија случајних матрица је такође нашла примену у неуронским мрежама и дубоком учењу, при чему се у недавним радовима користе случајне матрице како би се показало да се подешавања хиперпараметара могу јефтино пренети између великих неуронских мрежа без потребе за поновним обучавањем.
У нумеричкој анализи, случајне матрице се користе од рада Џона фон Нојмана и Хермана Голдстина за описивање грешака у рачунању у операцијама као што је множење матрица. Иако су случајни елементи традиционално „генерички” улази за алгоритам, концентрација мере повезана са расподелама случајних матрица имплицира да случајне матрице неће тестирати велике делове улазног простора алгоритма.
Теорија бројева
У теорији бројева, расподела нула Риманове зета-функције (и других L-функција) моделује се расподелом сопствених вредности одређених случајних матрица. Везу су први открили Хју Монтгомери и Фриман Дајсон. Повезана је са Хилберт-Појином хипотезом.
Слободна вероватноћа
Однос слободне вероватноће и случајних матрицаMingo, James A.; Speicher, Roland (2017): Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York кључни је разлог за широку употребу слободне вероватноће у другим областима. Војкулеску је увео концепт слободе око 1983. године у контексту операторске алгебре; на почетку није било никакве везе са случајним матрицама. Ова веза је откривена тек касније, 1991. године, од стране Војкулескуа;Voiculescu, Dan (1991): "Limit laws for random matrices and free products". Inventiones mathematicae 104.1: 201-220 он је био мотивисан чињеницом да се гранична расподела коју је пронашао у својој слободној централној граничној теореми већ појавила у Вигнеровом закону полукруга у контексту случајних матрица.
Рачунарска неуронаука
У области рачунарске неуронауке, случајне матрице се све више користе за моделовање мреже синаптичких веза између неурона у мозгу. Показано је да динамички модели неуронских мрежа са случајном матрицом повезаности показују фазни прелаз у хаос када варијанса синаптичких тежина пређе критичну вредност, на граници бесконачне величине система. Резултати о случајним матрицама такође су показали да је динамика модела случајних матрица неосетљива на средњу снагу везе. Уместо тога, стабилност флуктуација зависи од варијације снаге везе а време до синхронизације зависи од топологије мреже.
У анализи масивних података као што је fMRI, теорија случајних матрица је примењена како би се извршило смањење димензија. Када се примењује алгоритам као што је PCA, важно је моћи одабрати број значајних компоненти. Критеријуми за избор компоненти могу бити вишеструки (на основу објашњене варијансе, Кајзерове методе, сопствене вредности итд.). Теорија случајних матрица у овом контексту има свог представника у Марченко-Пастуровој расподели, која гарантује теоријске горње и доње границе сопствених вредности повезаних са коваријансном матрицом случајне променљиве. Овако израчуната матрица постаје нулта хипотеза која омогућава проналажење сопствених вредности (и њихових сопствених вектора) које одступају од теоријског случајног опсега. Тако искључене компоненте постају редуковани димензионални простор (погледати примере у fMRI ).
Оптимално управљање
У теорији оптималног управљања, еволуција n променљивих стања кроз време зависи у било ком тренутку од њихових сопствених вредности и од вредности k управљачких променљивих. Са линеарном еволуцијом, матрице коефицијената се појављују у једначини стања (једначини еволуције). У неким проблемима вредности параметара у овим матрицама нису познате са сигурношћу, у ком случају постоје случајне матрице у једначини стања и проблем је познат као проблем стохастичког управљања. Кључни резултат у случају линеарно-квадратног управљања са стохастичким матрицама јесте да се принцип извесности еквиваленције не примењује: док се у одсуству мултипликативне несигурности (тј. са само адитивном несигурношћу) оптимална политика са квадратном функцијом губитка поклапа са оним што би се одлучило да је несигурност игнорисана, оптимална политика може се разликовати ако једначина стања садржи случајне коефицијенте.
Рачунарска механика
У рачунарској механици, епистемичке несигурности које леже у основи недостатка знања о физици моделованог система доводе до математичких оператора повезаних са рачунарским моделом, који су у одређеном смислу мањкави. Таквим операторима недостају одређена својства повезана са немоделованом физиком. Када се такви оператори дискретизују да би се извршиле рачунарске симулације, њихова тачност је ограничена физиком која недостаје. Да би се надокнадио овај недостатак математичког оператора, није довољно учинити параметре модела случајним, потребно је размотрити математички оператор који је случајан и који на тај начин може генерисати породице рачунарских модела у нади да ће један од њих обухватити физику која недостаје. Случајне матрице су коришћене у овом смислу, са применама у виброакустици, ширењу таласа, науци о материјалима, механици флуида, преносу топлоте итд.
Инжењерство
Теорија случајних матрица може се применити у истраживачким напорима у електротехници и телекомуникацијама за проучавање, моделовање и развој масивних радио-система са више улаза и више излаза (MIMO).
Типови
Гаусови ансамбли
Најчешће проучаване расподеле вероватноће случајних матрица су Гаусови ансамбли: GOE, GUE и GSE. Често се означавају њиховим Дајсоновим индексом, β = 1 за GOE, β = 2 за GUE и β = 4 за GSE. Овај индекс броји број реалних компоненти по елементу матрице.
Дефиниције Гаусов унитарни ансамбл се описује Гаусовом мером са густином
на простору ермитских матрица . Овде је
нормализациона константа, одабрана тако да интеграл густине буде једнак један. Термин унитарни односи се на чињеницу да је расподела инваријантна под унитарном конјугацијом. Гаусов унитарни ансамбл моделује хамилтонијане којима недостаје симетрија обртања времена.
Гаусов ортогонални ансамбл се описује Гаусовом мером са густином
на простору n × n реалних симетричних матрица H = (Hij)i,j=1n. Његова расподела је инваријантна под ортогоналном конјугацијом и моделује хамилтонијане са симетријом обртања времена. Еквивалентно, генерише га , где је матрица димензија са независним и идентично расподељеним (ИИД) узорцима из стандардне нормалне расподеле.
Гаусов симплектички ансамбл се описује Гаусовом мером са густином
на простору n × n ермитских кватернионских матрица, нпр. симетричних квадратних матрица састављених од кватерниона, H = (Hij)i,j=1n. Његова расподела је инваријантна под конјугацијом симплектичком групом и моделује хамилтонијане са симетријом обртања времена али без ротационе симетрије.
Основна својства Тачкасте корелационе функције Ансамбли како су овде дефинисани имају Гаусовски расподељене елементе матрице са средњом вредношћу ⟨Hij⟩ = 0 и корелацијама у две тачке датим са из којих следе све више корелације према Исерлисовој теореми.
Функција генератриса момената за GOE јегде је Фробенијусова норма.
Спектрална расподела мини|361x361px|Спектрална густина GOE/GUE/GSE, за . Оне су нормализоване тако да дистрибуције конвергирају ка полукружној расподели. Број „грба” једнак је N. Заједничка функција густине вероватноће за сопствене вредности λ1, λ2, ..., λn за GUE/GOE/GSE дата је са
где је Zβ,n нормализациона константа која се може експлицитно израчунати, погледати Селбергов интеграл. У случају GUE (β = 2), формула (1) описује процес детерминантних тачака. Сопствене вредности се одбијају јер заједничка густина вероватноће има нулу (-тог реда) за подударне сопствене вредности , и .
Сажетије, где је Вандермондова детерминанта.
Расподеле највеће сопствене вредности за GOE и GUE су експлицитно решиве. Оне конвергирају ка Трејси-Видомовој расподели након одговарајућег померања и скалирања.
Спектар, подељен са , конвергира у расподели ка полукружној расподели на интервалу : . Овде је варијанса вандијагоналних елемената. Варијанса дијагоналних елемената није битна.
Вишартове матрице
Вишартове матрице су случајне матрице димензија n × n облика H = X X*, где је X случајна матрица димензија n × m (m ≥ n) са независним елементима, а X* њен конјуговано транспонована матрица. У важном специјалном случају који је разматрао Вишарт, елементи матрице X су идентично расподељене Гаусове случајне променљиве (реалне или комплексне).
Границу емпиријске спектралне мере Вишартових матрица пронашли су Владимир Марченко и Леонид Пастур.
Расподела највеће и најмање сопствене вредности за Вишартове и двоструке Вишартове (мултиваријацијске бета) матрице експлицитно су решиве. Показано је да за Вишартов ансамбл, GOE и GUE, вероватноћа да се све сопствене вредности налазе унутар граничне спектралне подршке (дате Марченко-Пастуровим или Вигнеровим полукружним законима) тежи за велике димензије ка универзалним вредностима 0,6921 и 0,9397 за реални и комплексни случај, респективно.
Матрица случајног опсега