У класичној механици, Лаплас—Рунге—Ленцов вектор (ЛРЛ вектор) је вектор који се углавном користи за описивање облика и оријентације орбите једног небеског тела око другог, као што је бинарна звезда или планета која се окреће око звезде. За два тела која међуделују путем Њутнове гравитације, ЛРЛ вектор је константа кретања, што значи да је исти без обзира на то где се израчунава на орбити; еквивалентно, за ЛРЛ вектор се каже да је очуван. Уопштеније, ЛРЛ вектор је очуван у свим проблемима у којима два тела међуделују путем централне силе која варира као обрнути квадрат растојања између њих; такви проблеми се називају Кеплерови проблеми.
Тако је атом водоника Кеплеров проблем, јер обухвата две наелектрисане честице које међуделују путем Кулоновог закона електростатике, још једне централне силе обрнутог квадрата. ЛРЛ вектор је био од суштинског значаја у првом квантно-механичком извођењу спектра атома водоника, пре развоја Шредингерове једначине. Међутим, овај приступ се данас ретко користи.
У класичној и квантној механици, очуване величине генерално одговарају симетрији система. Очување ЛРЛ вектора одговара необичној симетрији; Кеплеров проблем је математички еквивалентан честици која се слободно креће по површини четвородимензионалне (хипер)сфере, тако да је цео проблем симетричан под одређеним ротацијама четвородимензионалног простора. Ова виша симетрија произилази из два својства Кеплеровог проблема: вектор брзине се увек креће по савршеном кругу и, за дату укупну енергију, сви такви кругови брзине секу један другог у исте две тачке.
Лаплас—Рунге—Ленцов вектор је назван по Пјер-Симону де Лапласу, Карлу Рунгеу и Вилхелму Ленцу. Такође је познат као Лапласов вектор, Рунге—Ленцов вектор и Ленцов вектор. Иронично, ниједан од тих научника га није открио. ЛРЛ вектор је поново откриван и реформулисан неколико пута; на пример, еквивалентан је бездимензионалном вектору ексцентрицитета у небеској механици. Дефинисана су различита уопштења ЛРЛ вектора, која укључују ефекте специјалне релативности, електромагнетних поља, па чак и различитих врста централних сила.
Контекст Једна честица која се креће под дејством било које конзервативне централне силе има најмање четири константе кретања: укупну енергију и три Декартове компоненте вектора момента импулса у односу на центар силе. Орбита честице је ограничена на раван дефинисану почетним импулсом честице (или, еквивалентно, њеном брзином ) и вектором између честице и центра силе (види слику 1). Ова раван кретања је нормална на константни вектор момента импулса ; ово се може математички изразити једначином скаларног производа вектора . С обзиром на његову математичку дефиницију испод, Лаплас—Рунге—Ленцов вектор (ЛРЛ вектор) је увек нормалан на константни вектор момента импулса за све централне силе (). Стога, увек лежи у равни кретања. Као што је показано испод, показује од центра силе ка периапсиди путање, тачки најближег прилаза, а његова дужина је пропорционална ексцентрицитету орбите.
ЛРЛ вектор је константан по интензитету и правцу, али само за централну силу обрнутог квадрата. За друге централне силе, вектор није константан, већ мења и дужину и правац. Ако је централна сила приближно закон обрнутог квадрата, вектор је приближно константан по дужини, али полако ротира свој правац. Уопштени очувани ЛРЛ вектор може се дефинисати за све централне силе, али овај уопштени вектор је компликована функција положаја и обично се не може изразити у затвореном облику.
ЛРЛ вектор се разликује од других очуваних величина по следећем својству. Док за типичне очуване величине постоји одговарајућа циклична координата у тродимензионалном Лагранжијану система, за ЛРЛ вектор не постоји таква координата. Стога, очување ЛРЛ вектора мора бити изведено директно, нпр. методом Поасонових заграда, као што је описано испод. Очуване величине ове врсте називају се „динамичке”, за разлику од уобичајених „геометријских” закона одржања, нпр. закона одржања момента импулса.
Историјат ЛРЛ вектор је константа кретања Кеплеровог проблема и користан је у описивању астрономских орбита, као што је кретање планета и бинарних звезда. Ипак, никада није био добро познат међу физичарима, вероватно зато што је мање интуитиван од импулса и момента импулса. Сходно томе, независно је поново откриван неколико пута током последња три века.
Јакоб Херман је био први који је показао да је очуван за посебан случај централне силе обрнутог квадрата, и извео је његову везу са ексцентрицитетом орбиталне елипсе. Херманов рад је у савремену форму уопштио Јохан Бернули 1710. године. Крајем века, Пјер-Симон де Лаплас је поново открио очување , изводећи га аналитички, уместо геометријски. Средином деветнаестог века, Вилијам Роуан Хамилтон је извео еквивалентни вектор ексцентрицитета дефинисан испод, користећи га да покаже да се вектор импулса креће по кругу за кретање под дејством централне силе обрнутог квадрата (Слика 3).
Почетком двадесетог века, Џосаја Вилард Гибс је извео исти вектор помоћу векторске анализе. Гибсово извођење је као пример употребио Карл Рунге у популарном немачком уџбенику о векторима, на који се позвао Вилхелм Ленц у свом раду о (старом) квантно-механичком третману атома водоника. Године 1926, Волфганг Паули је користио ЛРЛ вектор да изведе енергетске нивое атома водоника користећи матричну формулацију квантне механике, након чега је постао познат углавном као Рунге—Ленцов вектор.
Дефиниција Централна сила обрнутог квадрата која делује на једну честицу описана је једначином
Одговарајућа потенцијална енергија је дата са . Параметар константе описује јачину централне силе; једнак је за гравитационе и за електростатичке силе. Сила је привлачна ако је и одбојна ако је .
thumb|right|400px|Слика 1: ЛРЛ вектор (приказан црвеном бојом) у четири тачке (означене са 1, 2, 3 и 4) на елиптичној орбити везане тачкасте честице која се креће под дејством централне силе обрнутог квадрата. Центар привлачења је приказан као мали црни круг из којег извиру вектори положаја (такође црни). Вектор момента импулса је нормалан на орбиту. Копланарни вектори и су приказани плавом и зеленом бојом, респективно; ове променљиве су дефинисане испод. Вектор је константан по правцу и интензитету.
ЛРЛ вектор је математички дефинисан формулом
где је маса тачкасте честице која се креће под дејством централне силе, њен вектор импулса, њен вектор момента импулса, вектор положаја честице (Слика 1), одговарајући јединични вектор, тј. , и интензитет , растојање масе од центра силе.
СИ јединице ЛРЛ вектора су џул-килограм-метар (J⋅kg⋅m). Ово следи јер су јединице за и kg⋅m/s и J⋅s, респективно. Ово се слаже са јединицама за (kg) и за (N⋅m2).
Ова дефиниција ЛРЛ вектора односи се на једну тачкасту честицу масе која се креће под дејством фиксне силе. Међутим, иста дефиниција се може проширити на проблеме два тела као што је Кеплеров проблем, узимањем као редуковане масе два тела и као вектора између два тела.
Пошто је претпостављена сила конзервативна, укупна енергија је константа кретања,
Претпостављена сила је такође централна сила. Стога је вектор момента импулса такође очуван и дефинише раван у којој честица путује. ЛРЛ вектор је нормалан на вектор момента импулса јер су и и нормални на . Следи да лежи у равни кретања.
Алтернативне формулације за исту константу кретања могу се дефинисати, обично скалирањем вектора константама, као што су маса , параметар силе или момент импулса . Најчешћа варијанта је дељење са , што даје вектор ексцентрицитета, бездимензионални вектор дуж велике полуосе чији је модуо једнак ексцентрицитету конусног пресека:
Еквивалентна формулација множи овај вектор ексцентрицитета великом полуосом , дајући резултујућем вектору јединице дужине. Још једна формулација дели са , дајући еквивалентну очувану величину са јединицама инверзне дужине, величину која се појављује у решењу Кеплеровог проблема
где је угао између и вектора положаја . Даље алтернативне формулације дате су испод.
Извођење Кеплерових орбита thumb|right|350px|Слика 2: Поједностављена верзија Слике 1, која дефинише угао између и у једној тачки орбите.
Облик и оријентација орбита могу се одредити из ЛРЛ вектора на следећи начин. Узимањем скаларног производа са вектором положаја добија се једначина
где је угао између и (Слика 2). Пермутовањем скаларног мешовитог производа добија се
Преуређивањем се добија решење за Кеплерову једначину
Ово одговара формули за конусни пресек ексцентрицитета e
где је ексцентрицитет и је константа.
Узимањем скаларног производа са самим собом добија се једначина која укључује укупну енергију ,
која се може поново написати преко ексцентрицитета,
Дакле, ако је енергија негативна (везане орбите), ексцентрицитет је мањи од један и орбита је елипса. Обрнуто, ако је енергија позитивна (невезане орбите, такође назване „расејане орбите”), ексцентрицитет је већи од један и орбита је хипербола. Коначно, ако је енергија тачно нула, ексцентрицитет је један и орбита је парабола. У свим случајевима, правац лежи дуж осе симетрије конусног пресека и показује од центра силе ка периапсиди, тачки најближег прилаза.
Кружни ходографи импулса thumb|right|280px|Слика 3: Вектор импулса (приказан плавом бојом) креће се по кругу док се честица креће по елипси. Четири означене тачке одговарају онима на Слици 1. Круг је центриран на -оси на позицији (приказано магента бојом), са полупречником (приказано зеленом бојом). Угао η одређује ексцентрицитет елиптичне орбите (). Према теореми о периферијском углу за кругове, је такође угао између било које тачке на кругу и две тачке пресека са осом, , које зависе само од , али не и од .
Очување ЛРЛ вектора и вектора момента импулса је корисно за показивање да се вектор импулса креће по кругу под дејством централне силе обрнутог квадрата.
Узимањем скаларног производа
са самим собом добија се
Даљим избором дуж -осе, и велике полуосе као -осе, добија се једначина геометријског места тачака за ,
Другим речима, вектор импулса је ограничен на круг полупречника центриран у .Очувани бинормални Хамилтонов вектор у овој равни импулса (розе) има једноставније геометријско значење и може га заправо заменити, као , види Patera, R. P. (1981). . Има дужину и разматран је у одељку #Алтернативна скалирања, симболи и формулације. За везане орбите, ексцентрицитет одговара косинусу угла приказаног на Слици 3. За невезане орбите, имамо и стога круг не сече -осу.
У дегенерисаном лимесу кружних орбита, и тиме ишчезавајућег , круг се центрира у координатном почетку . Ради краткоће, такође је корисно увести променљиву .
Овај кружни ходограф је користан за илустрацију симетрије Кеплеровог проблема.
Константе кретања и суперинтеграбилност Седам скаларних величина , и (будући да су вектори, последња два доприносе са по три очуване величине сваки) повезане су двема једначинама, и , дајући пет независних константи кретања. (Пошто се интензитет , а тиме и ексцентрицитет орбите, може одредити из укупног момента импулса и енергије , само је правац независно очуван; штавише, пошто мора бити нормалан на , он доприноси само једној додатној очуваној величини.)
Ово је у складу са шест почетних услова (вектори почетног положаја и брзине честице, сваки са три компоненте) који одређују орбиту честице, пошто почетно време није одређено константом кретања. Резултујућа 1-димензионална орбита у 6-димензионалном фазном простору је тако потпуно одређена.