Мељинова трансформација је у математици интегрална трансформација која се може сматрати мултипликативном верзијом двосмерне Лапласове трансформације. Ова интегрална трансформација је блиско повезана са теоријом Дирихлеових редова и често се користи у теорији бројева, математичкој статистици и теорији асимптотских разлагања; уско је везана за Лапласову трансформацију, Фуријеову трансформацију и теорију гама функције и сродних специјалних функција.
Мељинова трансформација комплексне функције дефинисане на је функција комплексне променљиве дата (тамо где постоји, види Основна трака доле) са
Приметимо да је Хаарова мера на мултипликативној групи , а је (општи не-унитарни) мултипликативни карактер. Инверзна трансформација је
Ознака подразумева да је ово линијски интеграл преузет над вертикалном линијом у комплексној равни, чији реалан део c мора само задовољити блажу доњу границу. Услови под којима ова инверзија важи дати су у теореми о Мелиновој инверзији.
Трансформација је добила име по финском математичару Хјалмару Мељину, који ју је представио у раду објављеном 1897. у Acta Societatis Scientiarum Fennicae.
Однос са другим трансформацијама Двосмерна Лапласова трансформација може се дефинисати преко Мелинове трансформације као
и обратно, Мелинову трансформацију можемо добити из двосмерне Лапласове трансформације као
Мелинова трансформација се може замислити као интеграција помоћу језгра у односу на мултипликативну Хаарову меру, , која је непромењива под дилатацијом , тако да је двосмерна Лапласова трансформација интегрише у односу на адитивну Хаарову меру , која је непромењива под транслацијом, тако да је
Такође можемо дефинисати Фуријеову трансформацију преко Мелинове трансформације и обратно; у смислу Мелинове трансформације и горе дефинисане двосмерне Лапласове трансформације
Можемо и обрнути процес и добити
Мелинова трансформација такође повезује Њутнов ред или биномну трансформацију са функцијом за генерисање Поасоновог типа, путем Поасоново-Мелиново-Њутновог циклуса.
Мелинова трансформација се може посматрати и као Гелфандова трансформација за конволуциону алгебру локално компактне абелове групе позитивних реалних бројева са множењем.
Примери
Каен-Мелинов интеграл
Мелинова трансформација функције је
где је гама функција. је мероморфна функција са једноставним половима у . Стога, је аналитичка за . Одавде, за и на главној грани, инверзна трансформација даје
Овај интеграл је познат као Каен-Мелинов интеграл. (Види белешке тамо за даља референце на Каенов и Мелинов рад, укључујући Каенову дисертацију.)
Полиномске функције Пошто не конвергира за ни једну вредност од , Мелинова трансформација није дефинисана за полиномне функције на целој позитивној реалној оси. Међутим, дефинишући је да буде нула на различитим деловима реалне осе, могуће је узети Мелинову трансформацију. На пример, ако је
онда је
Дакле има једноставан пол у и дефинисана је за . Слично, ако је
онда је
Дакле има једноставан пол у и дефинисана је за .
Експоненцијалне функције За , нека је . Онда је
Зета функција Може се користити Мелинова трансформација да се добије једна од основних формула за Риманову зета функцију, . Нека је . Онда је
Стога је,
Генерализована Гаусова За , нека је (тј. је генерализована Гаусова расподела без фактора скалирања.) Онда је
Посебно, постављањем добија се следећи облик гама функције
Степенови редови и Дирихлеови редови
Уопштено, претпостављајући неопходну конвергенцију, можемо повезати Дирихлеове редове и степене редове
помоћу ове формалне идентичности која укључује Мелинову трансформацију:
Основна трака
За , нека је отворена трака дефинисана као сва таква да је са Основна трака од је дефинисана као највећа отворена трака на којој је дефинисана. На пример, за основна трака од
је Као што се види из овог примера, асимптотика функције када дефинише леву тачку њене основне траке, а асимптотика функције када дефинише њену десну тачку. Да се резимира користећи нотацију велико O, ако је када и када онда је дефинисана у траци
Примена овога се може видети на гама функцији, Пошто је када и за све онда би требало да буде дефинисана у траци што потврђује да је аналитичка за
Особине
Особине у овој табели могу се наћи у и .
+ Особине Мељинове трансформације Функција Мељинова трансформација Основна трака Коментари Дефиниција Инволуција Овде означава комплексну конјугацију од . , Скалирање Померај домена је условен и захтева процену у односу на специфично понашање конвергенције. Важи само ако интеграл постоји. Важи само ако интеграл постоји. Мултипликативна конволуција Мултипликативна конволуција (генерализована) Мултипликативна конволуција (генерализована) Множење. Важи само ако интеграл постоји. Види Паревалову теорему доле за услове који обезбеђују постојање интеграла.
Паревалова теорема и Планшерова теорема
Нека и буду функције са добро дефинисаним Мелиновим трансформацијама у основним тракама . Нека је са . Ако су функције и такође квадратно интеграбилне на интервалу , онда важи Паревалова формула: .
Интеграција на десној страни се врши дуж вертикалне линије која лежи у потпуности у преклапању (прикладно трансформираних) основних трака.
Можемо заменити са . Ово даје следећу алтернативну форму теореме: Нека и буду функције са добро дефинисаним Мелиновим трансформацијама у основним тракама . Нека је са и изаберимо са . Ако су функције и такође квадратно интеграбилне на интервалу , онда имамо
Можемо заменити са . Ово даје следећу теорему: Нека буде функција са добро дефинисаном Мелиновом трансформацијом у основној траци . Нека је са . Ако је функција такође квадратно интеграбилна на интервалу , онда важи Планшерова теорема:.
Као изометрија на L2 просторима У проучавању Хилбертових простора, Мелинова трансформација се често поставља на мало другачији начин. За функције у (види Lp простор) основна трака увек укључује , тако да можемо дефинисати линеарни оператор као
Другим речима, поставили смо
Овај оператор се обично означава са и зове "Мелинова трансформација", али се користи овде да би се разликовала од дефиниције коришћене другде у овом чланку. Мелинова теорема о инверзији онда показује да је инвертибилан са инверзом
Даље, овај оператор је изометрија, што значи за све (ово објашњава зашто је коришћен фактор ).
У теорији вероватноће У теорији вероватноће, Мелинова трансформација је основно средство у проучавању расподела производа случајних променљивих. Ако је X случајна променљива, а } означава њен позитивни део, док } је њен негативни део, онда је Мелинова трансформација од X дефинисана као
где је γ формална променљива са . Ова трансформација постоји за све s у некој комплексној траци , где је .
Мелинова трансформација случајне променљиве X јединствено одређује њену функцију расподеле FX. Значај Мелинове трансформације у теорији вероватноће лежи у чињеници да ако су X и Y две независне случајне променљиве, онда је Мелинова трансформација њиховог производа једнака производу Мелинових трансформација X и Y:
Проблеми са Лапласијаном у цилиндричном координатном систему
У Лапласијану у цилиндричним координатама у генеричкој димензији (ортогонални координати са једним углом и једним полупречником, а преосталим дужинама) увек постоји члан:
На пример, у 2-D поларним координатама Лапласијан је:
а у 3-D цилиндричним координатама Лапласијан је:
Овај члан се може третирати Мелиновом трансформацијом,Bhimsen, Shivamoggi, Chapter 6: The Mellin Transform, par. 4.3: Distribution of a Potential in a Wedge, пошто:
На пример, 2-D Лапласова једначина у поларним координатама је ПДЈ у две променљиве:
и множењем:
са Мелиновом трансформацијом на полупречник постаје једноставан хармонијски осцилатор:
са општим решењем:
Запоставимо сада, на пример, неке једноставне ивичне услове за клинаст регион за оригиналну Лапласову једначину:
они су посебно једноставни за Мелинову трансформацију, постајући:
Ови услови примењени на решење га појединачно дефинишу:
Сада, премо конволуционе теореме за Мелинову трансформацију, решење у Мелиновом домену се може инвертовати:
где је коришћена следећа релација инверзне трансформације:
где је .
Примене Мелинова трансформација се широко користи у рачунарству за анализу алгоритамаPhilippe Flajolet and Robert Sedgewick. The Average Case Analysis of Algorithms: Mellin Transform Asymptotics. Research Report 2956. 93 pages. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA), 1996. због њеног својства инваријантности на скалирање. Величина Мелинове трансформације скалиране функције идентична је магнитуди оригиналне функције за чисто имагинарне улазе. Ово својство инваријантности на скалирање је аналогно својству инваријантности на померање Фуријеове трансформације. Магнитуда Фуријеове трансформације временски померене функције идентична је магнитуди Фуријеове трансформације оригиналне функције.
Ово својство је корисни у препознавању слика. Слика објекта се лако скалира када се објекат помери ка или од камере.
У квантној механици и посебно квантној теорији поља, Фуријеов простор је изузетно користан и широко се користи јер су импулс и положај Фуријеове трансформације једни других (на пример, Фајнманови дијаграми много су лакше израчунљиви у импулсном простору). Године 2011, A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, João Penedones, Suvrat Raju, и Balt C. van Rees показали су да Мелинов простор служи аналогној улози у контексту AdS/CFT коресподенције.A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, Joao Penedones, Suvrat Raju, Balt C. van Rees. "A Natural Language for AdS/CFT Correlators".A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan. "Unitarity and the Holographic S-Matrix"A. Liam Fitzpatrick. "AdS/CFT and the Holographic S-Matrix", video lecture.
Примери Перронова формула описује инверзну Мелинову трансформацију примењену на Дирихлеов ред. Мељинова трансформација се користи у анализи функције броја простих бројева и јавља се у дискусијама Риманове зета функције. Инверзне Мелинове трансформације често се јављају у Рисеовим срединама. Мељинова трансформација може се користити у модификацији тона и временске скале аудио записа .
Таблица одабраних Мелинових трансформација
Испод је списак занимљивих примера за Мелинову трансформацију:
+ Одабране Мелинове трансформације Функција Мељинова трансформација Регион конвергенције Коментар И уопштено је Мелинова трансформација од је Диракова делта функција. је Хевисајдова функција је Беселова функција прве врсте. је Беселова функција друге врсте је модификована Беселова функција друге врсте
Види још Мелинова теорема о инверзији Перронова формула Рамануџанова главна теорема
Напомене
Референце
Литература
Додатна литература
Спољашње везе Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas (in Spanish). Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
Категорија:Комплексна анализа Категорија:Интегралне трансформације Категорија:Лапласова трансформација