300px|class=skin-invert-image|мини|Стилистички приказ периодичног децималног броја 0,9999..., који представља цифру 9 која се бесконачно понавља. У математици, 0,999... (такође се пише као 0,, 0, или 0,(9)) јесте периодични децимални број који представља алтернативни начин записивања броја 1. Према стандардним правилима за представљање реалних бројева у децималном запису, његова вредност је најмањи број већи или једнак сваком броју у низу 0,9, 0,99, 0,999, и тако даље. Може се доказати да је овај број 1; то јест,
Упркос уобичајеним заблудама, 0,999... није „скоро тачно 1” нити „врло, врло близу, али не сасвим 1”; већ „0,999...” и „1” представљају исти број.
Постоји много начина да се покаже ова једнакост, од интуитивних аргумената до математички ригорозних доказа. Интуитивни аргументи се углавном заснивају на својствима коначних децималних бројева која се без доказа проширују на бесконачне децималне бројеве. У наставку је дат елементаран, али ригорозан доказ који укључује само елементарну аритметику и Архимедову аксиому: за сваки реалан број постоји природни број који је већи (на пример, заокруживањем навише). Други докази се углавном заснивају на основним својствима реалних бројева и методама анализе, као што су редови и лимеси. Питање које се проучава у математичком образовању јесте зашто неки људи одбацују ову једнакост.
У другим бројевним системима, 0,999... може имати исто значење, другачију дефиницију или бити недефинисано. Сваки не-нулти коначни децимални број има два једнака записа (на пример, 8,32000... и 8,31999...). Поседовање вредности са вишеструким записима је карактеристика свих позиционих бројевних система који представљају реалне бројеве.
Елементарни доказ десно|мини|Архимедова аксиома: било која тачка пре циља лежи између две тачке (укључујући и њих).|class=skin-invert-image
Могуће је доказати једначину користећи само математичке алате поређења и сабирања (коначних) децималних бројева, без икаквог позивања на напредније теме. Доказ дат у наставку је директна формализација интуитивне чињенице да, ако се 0,9, 0,99, 0,999, итд. нацртају на бројевној правој, не остаје простора за постављање броја између њих и 1. Значење записа 0,999... је најмања тачка на бројевној правој која лежи десно од свих бројева 0,9, 0,99, 0,999, итд. Пошто на крају нема простора између 1 и ових бројева, тачка 1 мора бити ова најмања тачка, па је .
Интуитивно објашњење Ако се 0,9, 0,99, 0,999, итд. поставе на бројевну праву, одмах се види да су све ове тачке лево од 1 и да се све више приближавају 1. За било који број који је мањи од 1, низ 0,9, 0,99, 0,999, и тако даље, ће на крају достићи број већи од . Дакле, нема смисла идентификовати 0,999... са било којим бројем мањим од 1. У међувремену, сваки број већи од 1 биће већи од било ког децималног броја облика 0,999...9 за било који коначан број деветки. Стога, 0,999... се не може идентификовати ни са једним бројем већим од 1. Пошто 0,999... не може бити веће од 1 нити мање од 1, мора бити једнако 1 ако уопште треба да буде неки реалан број.
Ригорозни доказ
Означимо са 0,(9) број 0,999...9, са деветки после децималног зареза. Тако је , , , и тако даље. Имамо , , и тако даље; то јест, за сваки природни број .
Нека је број који није већи од 1 и већи је од 0,9, 0,99, 0,999, итд.; то јест, , за свако . Одузимањем ових неједнакости од 1, добијамо .
Крај доказа захтева да не постоји позитиван број који је мањи од за свако . Ово следи из Архимедове аксиоме, која се може изразити као: „за сваки реалан број, постоји природан број који је већи”. Израчунавањем реципрочне вредности, ово имплицира да за сваки позитиван реалан број постоје природни бројеви чије су реципрочне вредности мање. Стога, за било који позитиван реалан број, мора постојати неко такво да је мање. Ово својство имплицира да ако је за свако , онда може бити једнако само 0. Дакле, и 1 је најмањи број који је већи од свих 0,9, 0,99, 0,999, итд. То јест, , као што је и тврђено. Овај доказ се ослања на Архимедову аксиому рационалних и реалних бројева. Реални бројеви се могу проширити у бројевне системе, као што су хиперреални бројеви, са бесконачно малим бројевима (инфинитезималима) и бесконачно великим бројевима (бесконачним бројевима). Када се користе такви системи, нотација 0,999... се углавном не користи, јер не постоји најмањи број међу бројевима већим од свих 0,(9).
Најмање горње границе и потпуност
Део онога што овај аргумент показује јесте да постоји најмања горња граница низа 0,9, 0,99, 0,999, итд.: најмањи број који је већи од свих чланова низа. Један од аксиома система реалних бројева је аксиома потпуности, која каже да сваки ограничен низ има најмању горњу границу. Ова најмања горња граница је један од начина дефинисања бесконачних децималних записа: реалан број представљен бесконачним децималним записом је најмања горња граница његових коначних скраћења. Овде аргумент не мора да претпостави потпуност да би био валидан, јер показује да овај конкретан низ рационалних бројева има најмању горњу границу и да је та најмања горња граница једнака јединици.
Алгебарски аргументи Једноставне алгебарске илустрације једнакости су предмет педагошке расправе и критике. разматра аргумент да се у основној школи учи да је , па, игноришући све суштинске суптилности, „множење” ове једнакости са 3 даје . Он даље каже да овај аргумент није убедљив, због нерешене двосмислености у вези са значењем знака једнакости; ученик би могао помислити: „То сигурно не значи да је број 1 идентичан ономе што се подразумева под нотацијом 0,999...”. Већина студената основних студија математике са којима се Бајерс сусрео сматра да је 0,999... „веома близу” 1 на основу овог аргумента, а неки чак кажу да је „бесконачно близу”, али нису спремни да кажу да је једнако 1. разматра како „овај аргумент добија на снази из чињенице да је већина људи индоктринирана да прихвати прву једначину без размишљања”, али такође сугерише да би аргумент могао навести скептике да преиспитају ову претпоставку.
Бајерс такође представља следећи аргумент.
Ученици који нису прихватили први аргумент понекад прихватају други аргумент, али, по Бајерсовом мишљењу, и даље нису решили двосмисленост, и стога не разумеју представљање бесконачних децималних бројева. , представљајући исти аргумент, такође наводе да он не објашњава једнакост, указујући да би такво објашњење вероватно укључивало концепте бесконачности и потпуности. , цитирајући , такође закључују да је третман идентитета заснован на оваквим аргументима, без формалног концепта лимеса, преурањен. се слаже, тврдећи да знање да се 0,999... може помножити са 10 померањем децималног зареза претпоставља одговор на дубље питање како се уопште даје значење изразу 0,999.... Исти аргумент даје и , који примећује да скептици могу довести у питање да ли се може скратити—то јест, да ли има смисла одузети са обе стране. слично тврди да и множење и одузимање које уклања бесконачни децимални запис захтевају даље оправдање. Аналитички докази Реална анализа је проучавање логичких основа анализе, укључујући понашање низова и редова реалних бројева. Докази у овом одељку успостављају користећи технике познате из реалне анализе.
Бесконачни редови и низови
Уобичајени развој децималних записа је да се они дефинишу као бесконачни редови. Уопштено:
За 0,999... може се применити теорема о конвергенцији која се односи на геометријски ред, која каже да ако је , онда:
Пошто је 0,999... такав збир са и количником , теорема брзо решава питање:
Овај доказ се појављује још 1770. године у Елементи алгебре Леонарда Ојлера. десно|мини|200px|Лимеси: јединични интервал, укључујући низ разломака у бази 4 који конвергира ка 1.|class=skin-invert-image Збир геометријског реда је сам по себи резултат чак и старији од Ојлера. Типично извођење из 18. века користило је манипулацију члан по члан сличну алгебарском доказу датом горе, и чак 1811. године, Боникаслов уџбеник Увод у алгебру користи такав аргумент за геометријске редове да оправда исти маневар на 0,999... Реакција из 19. века против таквих либералних метода сумирања резултирала је дефиницијом која и данас доминира: збир реда се дефинише као лимес низа његових парцијалних сума. Одговарајући доказ теореме експлицитно израчунава тај низ; може се наћи у неколико увода у анализу или калкулус заснованих на доказима.
Низ има вредност као свој лимес ако растојање постане произвољно мало како расте. Тврдња да се може сама по себи тумачити и доказати као лимес:
Прве две једнакости могу се тумачити као симболичке скраћене дефиниције. Преостале једнакости се могу доказати. Последњи корак, да 10 тежи 0 док тежи бесконачности (), често се оправдава Архимедовом аксиомом реалних бројева. Овај став према 0,999... заснован на лимесима често се изражава у евокативнијим, али мање прецизним терминима. На пример, уџбеник из 1846. године Универзитетска аритметика објашњава: „.999 +, настављено до бесконачности = 1, јер свако додавање једне 9-ке приближава вредност 1”; уџбеник из 1895. Аритметика за школе каже: „када се узме велики број 9-ки, разлика између 1 и .99999... постаје незамисливо мала”. Такве хеуристике студенти често погрешно тумаче као да имплицирају да је сам 0,999... мањи од 1.
Угнежђени интервали и најмање горње границе
десно|мини|250px|Угнежђени интервали: у бази 3, . |class=skin-invert-image Горе наведена дефиниција реда дефинише реалан број именован децималним записом. Комплементаран приступ је прилагођен супротном процесу: за дати реалан број, дефинисати децимални запис(е) који га именују.
Ако се зна да се реалан број налази у затвореном интервалу (то јест, већи је или једнак 0 и мањи или једнак 10), може се замислити подела тог интервала на десет делова који се преклапају само на крајњим тачкама: , , , и тако даље до . Број мора припадати једном од њих; ако припада , онда се записује цифра „2” и тај интервал се даље дели на , , ..., , . Настављањем овог процеса добија се бесконачан низ угнежђених интервала, означен бесконачним низом цифара , , , ..., и пише се
У овом формализму, идентитети и одражавају, респективно, чињеницу да 1 лежи и у и у , па се може изабрати било који подинтервал приликом проналажења његових цифара. Да би се осигурало да ова нотација не злоупотребљава знак „=”, потребан је начин да се реконструише јединствен реалан број за сваки децимални запис. Ово се може урадити помоћу лимеса, али друге конструкције настављају са темом уређења.
Један директан избор је Канторов принцип уметнутих интервала, који гарантује да, за дати низ угнежђених, затворених интервала чије дужине постају произвољно мале, интервали садрже тачно један реалан број у свом пресеку. Дакле, , , , ... се дефинише као јединствени број садржан у свим интервалима , , и тако даље. 0,999... је тада јединствени реалан број који лежи у свим интервалима , , , и за сваки коначан низ деветки. Пошто је 1 елемент сваког од ових интервала, . Канторов принцип уметнутих интервала се обично заснива на фундаменталнијој карактеристици реалних бројева: постојању најмањих горњих граница или супремума. Да би се директно искористили ови објекти, може се дефинисати ... као најмања горња граница скупа апроксиманата , , , ... Затим се може показати да је ова дефиниција (или дефиниција са угнежђеним интервалима) у складу са процедуром поделе, што поново имплицира . Том Апостол закључује: „чињеница да реалан број може имати два различита децимална записа је само одраз чињенице да два различита скупа реалних бројева могу имати исти супремум.”
Докази из конструкције реалних бројева