200px|thumb|Upleteni kubni objekat je projektivni algebarski varijetet.
Algebarski varijeteti su centralni objekti izučavanja u algebarskoj geometriji. Klasično, algebarski varijetet je definisan kao skup rešenja sistema polinomskih jednačina nad realnim ili kompleksnim brojevima. Savremene definicije generališu ovaj koncept na nekoliko različitih načina, pokušavajući da sačuvaju geometrijsku intuiciju iza prvobitne definicije.
Konvencije o definiciji algebarskog varijeteta neznatno se razlikuju. Na primer, neke definicije zahtevaju da je algebarski varijetet nereduktivan, što znači da nije unija dva manja skupa koja su zatvorena u Zariskovoj topologiji. Pod ovom definicijom, algebarski varijeteti koji se mogu redukovati nazivaju se algebarske grupe. Druge konvencije ne zahtevaju nereduktivnost.
Fundamentalna teorema algebre uspostavlja vezu između algebre i geometrije, pokazujući da je monski polinom (algebarski objekat) u jednoj promenljivoj sa kompleksnim brojevima kao koeficijenatima određen setom njegovih korena (geometrijski objekt) u kompleksnoj ravni. Generalizirajući ovaj rezultat, Hilbertova teorema nula daje fundamentalnu korespondenciju između ideala polinomskih prstenova i algebarskih skupova. Koristeći teoremu nula i srodne rezultate, matematičari su uspostavili čvrstu korespondenciju između pitanja o algebarskim skupovima i pitanja teorije prstena. Ova korespondencija je definišuća karakteristika algebarske geometrije.
Mnogi algebarski varijeteti su mnogostrukosti, ali algebarski varijetet može da ima singularne tačke dok mnogostrukost ne može. Algebarski varijeteti se mogu karakterisati njihovom dimenzijom. Algebarski varijeteti dimenzije jedan se nazivaju algebarskim krivama, a algebarski varijeteti dimenzije dva se nazivaju algebarskim površima.
Pregled i definicije
Afini varijetet nad algebarski zatvorenim poljem je konceptualno najlakši tip varijeteta za definisanje, što će biti urađeno u ovom odeljku. Dalje, na sličan način se mogu definisati projektivni i kvaziprojektivni varijeteti. Najopštija definicija varijeteta se dobija spajanjem manjih kvaziprojektivnih varijeteta. Nije očigledno da se na ovaj način mogu konstruisati istinski novi primeri varijeteta, mada je Nagata je dao primer takvog novog varijeteta tokom 1950-ih.
Afini varijeteti
Za algebarski zatvoreno polje i prirodan broj , neka je afini -prostor nad , identifikovan sa izborom afinog koordinatnog sistema. Polinomi u prstenu se mogu posmatrati kao funkcije sa K-vrednošti na procenom u tačkama u , tj. odabirom vrednosti u K za svako xi. Za svaki skup S polinoma u , definisati nulti lokus Z(S) kao skup tačaka u na kojima funkcije u S istovremeno nestaju, tj.
Podskup V od se naziva afinim algebarskim skupom ako je V = Z(S) za neki S. Neprazan afini algebarski skup V naziva se nesvodljivim ako se ne može zapisati kao unija dva prava algebarska podskupa. Nesvodljivi afini algebarski skup se takođe naziva afina varijanta. (Neki autori koriste frazu afini varijetet koja se odnosi na bilo koji afini algebarski skup, nesvodljiv ili ne., Harris, )
Afinim varijetetima može se dati prirodna topologija tako što će se zatvoreni skupovi proglasiti upravo afinim algebarskim skupovima. Ova topologija se naziva topologija Zariskog.
S obzirom na podskup V od , definišemo I(V) kao ideal svih polinomskih funkcija koje nestaju na V:
Za bilo koji afini algebarski skup V, koordinatni prsten ili strukturni prsten od V je količnik polinomskog prstena prema ovom idealu.
Napomene
Reference
Literatura
Spoljašnje veze
Категорија:Алгебарска геометрија