200п|десно|мини|Декартов правоугли координатни систем у равни. Четири тачке су маркиране: зелена (2, 3), црвена (-3, 1), плава (-1,5; -2,5) и љубичастом координатни почетак (0, 0).
Декартов координатни систем се користи у математици за једнозначно дефинисање положаја тачака у простору. Карактеристика овог система је да су његове координатне осе међусобно нормалне.
Декартов правоугли координатни систем је измислио француски математичар и филозоф Рене Декарт, који је, између осталих ствари, покушавао да споји алгебру и Еуклидску геометрију. Овај рад је много утицао на развој аналитичке геометрије, рачуна и картографије.
Идеја о овом систему је развијена 1637. у два Декартова дела. У другом делу свог Метода предавања, Декарт је увео нову идеју одређивања положаја тачке или предмета на површини, користећи две нормалне осе као помагало за мерење. У Геометрији, Декарт је даље објаснио горе споменути концепт.
Историја
Заслуга за откриће Картезијевог координатног система припала је француском математичару Рене Декарту (1596—1650) који га је именовао по својој латинској верзији имена -{Cartesius}-. Премда је идеја била утемељена још 1637. године одвојено у два записа Декарта и Фермата, потоњи није објавио своје откриће. Француски свештеник Никол Оресм користио је конструкције сличне Декартовим дуго пре времена Декарта и Фермата. Декарт је увео нову замисао одређивања положаја тачке или објекта у равни употребивши две међусобно нормалне осе као мерила. Откриће Картезијевог координатног система значило је велики напредак у математици повезујући најприје Еуклидску геометрију и алгебру. Кружнице, елипсе и друге криве сада су први пут могле бити описиване „картезијским” алгебарским једначинама помоћу координата тачака криве у равни. Развој картезијевог координатног система значајно је допринео даљњем развоју математике и омогућио Њутну и Лајбницу откриће диференцијалног и интегралног рачуна.A Tour of the Calculus, David Berlinski
Премда је Декарт дао координатном систему своје име, треба нагласити да су се слични координатни системи користили и пре њега укључивши Абу Рајхан Мухамед ибн Ахмед Бирунија, те Персијску математику X и -{XI}- века. Након Декарта развијени су и други координатни системи као што су поларни, сферични, цилиндрични и други.
Декартов координатни систем
Налик земљописној карти где је положај неког места одређен с два податка: земљописном ширином и земљописном дужином, нацртају ли се два међусобно нормална бројевна правца, на пример x и y - уобичајено x хоризонталан, а y вертикалан, који се секу у тачки -{O}- и одреде ли се на правцима x и y јединичне тачке -{E}- и -{F}-, тако да је -{/OE/=/OF/=1}-, тиме је дефинисан правоугаони или Картезијев координатни систем у равни.
Декартов координатни систем се може користити у простору (где се користе три координате: -{x}-, -{y}- и -{z}-) и у вишедимензионалним системима.
Декартов координатни систем у равни мини|200п|Распоред квадранта
Дводимензиони Декартов координатни систем се користи да једнозначно одреди сваку тачку у равни помоћу два броја, који се обично означавају са -{x}- и -{y}-. Декартов координатни систем је дефинисан са две осе (-{x}--оса или апсциса и -{y}--оса или ордината). Избором мере за сваку осу и означавањем јединица мере дуж оса формира се скала.
250п|десно|мини|Декартов координатни систем са кругом полупречника 2. Једначина круга је -{x2 + y2}- = 4.
Коришћењем Декартовог координатног система геометријске фигуре (као што су криве) се могу исказати алгебарским једначинама, тј. једначинама које задовољавају координате на тачкама које леже на фигури. На пример, круг полупречника 2 се може приказати формулом -{x2 + y2}- = 4.
Тродимензионални Декартов координатни систем мини|200п|Илустрација Декартовог координатног система у 3Д Картезијев координатни систем се може изабрати и као о једнодимензионални математички простор, где ће такав простор бити одређен једном осом уз избор оријентације осе и јединичне дужине, а координата (једна) ће у том случају одређивати положај тачке на бројевном правцу који је придружен координатној оси.
мини|200п|Распоред октанта у 3Д систему Картезијев дводимензионални координатни систем одређује положај тачке у равни, а картезијев тродимензионални координатни систем одређује положај тачке у простору где је такав координатни систем дефинисан средиштем координатног система -{0}-, и три оијентиране осе (x, y и -{z}-) с одговарајућим јединичним дужинама. Координате сваке тачке у таквом систему задате су уређеним скупом од 3 броја, на пример (3, -1, 5) који означавају одговарајуће координате у тродимензионалном математичком простору, где су координате представљене оријентисаним нормалним удаљеностима од неке тачке до одговарајуће равни. У тродимензионалном координатном систему називи оса (апсциса и ордината) нису мандаторне, али ако се употребљавају тада је уобичајено да се трећа, -{z}- оса, назвати апликата. На исти начин је уобичајено да се x и y оса поставе у хоризонталну раван, а преостала -{z}- оса нормално на њих. Коначно, тродимензионални координатни систем се дили на осам подручја, „октаната”, омеђених са одговарајућим деловима равни. Први октант је онај где су све три полуосе позитивне.
Вишедимензионални Декартов координатни систем
Следећи наведени принцип генерално се могу координате тачке одредити и у -{n}--димензионалном математичком простору где ће се помоћу -{n}- одговарајућих координата дефинисати оријентисана удаљеност од тачке до једне од -{n}- хиперравни. У четвородимензионалном математичком простору на пример, постојаће четири осе x, y, -{z}- и w, а координате сваке тачке у таквом математичком простору биће одређене уређеним скупом од четири броја.
Непосредне примене и својства Удаљеност између две тачке у равни Удаљеност две тачке у равни одређена Картезијевим координатама и је
што је вид израза Питагорине теореме исказане у Картезијевом координатном систему.
Средиште дужи Нека је дужина задата тачкама -{A}- и -{B}- и њиховим координатама -{A}- и -{B}-, тада ће средиште дужи имати координате
и
.
Координате тежишта троугла Нека је троугао -{ABC}- смештен у Картезијевом координатном систему и одређен тачкама с координатама -{A}-, -{B}- и -{C}-, тада ће тежиште троугла имати координате
и
.
Удаљеност између две тачке у простору Удаљеност две тачке у простору одређене у тродимензионалном Картезијевом координатном систему и је
што се може утврдити применом Питагорине теореме.
Транслација Скуп тачака у равни, на пример троугла -{ABC}-, може се помакнути у равни уз очување међусобних удаљености и оријентације уз додавање утврђеног пара бројева (X,Y) Картезијевим координатама сваке тачке скупа. Ако су координате тачака троугла -{A}-(x’, y’), -{B}-(x’’, y’’) и -{C}-(x’’’, y’’’) тада ће транслирани, одн. помакнути троугао имати координате -{A’}-(x’+X, y’+Y), -{B’}-(x’’+X, y’’+Y) и -{C’}-(x’’’+X, y’’’+Y)
Увећање, смањење У Картезијевим координатама неки лик може се учинити већим или мањим тако што се све координате свих тачака помноже фактором пропорционалности, нпр. -{m}-. Ако су координате тачака које одређују дужину -{AB}-, -{A}-(x’, y’) и -{B}-(x’’, y’’) тада нове координате тачака које одређују дужину -{A’B’}- ће бити -{A’(mx’, my’)}- и -{B’(mx’’, my’’)}-. Ако је -{m>1}- добијени лик ће бити већи, а ако је -{m<1}- добијени лик ће бите мањи од изворног лика. мини|Декартов координатни систем са кругом радијуса 2, чији центар је у координатном почетку.
Приказ кривих у координатном систему у равни У Картезијевом координатном систему једноставно се приказују криве у равни (кружница, елипса, парабола и тд.) те различите функције (линеарне, полиномне, експоненцијалне, тригонометријске и тд.).
Приказујући на пример кружницу у Картезијевом координатном систему установљава се да за сваку тачку кружнице вреди да је
те ће према томе једначина кружнице полупречника 2 (слика десно) бити
Приказ вектора у Картезијевим координатама Тачка у простору описаном Картезијевим координатама може дефинисати вектор. Вектор помака, на пример -{r}-, може имати хватиште у исходишту Декартовог координатног система и врх у тачки у простору. Стрелица која показује према врху вектора дефинише смер вектора (смер помака), а ортогоналне пројекције на оси x, y и -{z}- одговарајући помак у x, y или -{z}- смеру. Дужина самог вектора тада је апсолутна величина помака у простору
,
а такође се може записати да је
,
где су -{i}-, -{j}- и -{k}- јединични вектори у смеру x, y и -{z}- осе.
Вектор у Картезијевом тродимензионалном простору одређен је на тај начин у целости уређеним скупом од четири величине (-{r}-, x, y, -{z}-). Овакав приказ вектора увео је Вилијам Роуан Хамилтон.
Примене Свака оса може у практичној примени према потреби да има различите мерне јединице (килограме, секунде, вате, итд), што значи да се Картезијевим координатним системом могу приказивати не само криве, лукови и геометријска тела у дводимензионалном, односно тродимензионалном простору, већ да се могу приказивати и све могуће остале промењиве (маса, време, енергија, сила и многе друге). Премда је тешко визуализовати четворо и вишедимензионалне просторе, алгебра Картезијевих координата може се једноставно проширити на четири или више променљивих тако да се могу извршити прорачуни вредности функција и са четири или више променљивих. Таква алгебра дефинише геометрију вишедимензионих простора.
Значај Картезијеве координате су темељ аналитичке геометрије и осигуравају геометријску интерпретацију за бројна подручја математике као што су линеарна алгебра, комплексна анализа, диференцијална геометрија итд. Један од најпознатијих примера је концепт графичког приказа или графа функције. Картезијске координате су основно оруђе у многим подручјима која се баве геометријом укључујући астрономију, физику, техничке струке, економију и другде.
Оријентација
Две димензије thumb|Правило десне руке
Фиксирање или избор x-осе одређује y-осе све до правца. Наиме, y-оса је нужно окомита на x-осу кроз тачку означену 0 на x-оси. Али постоји избор коју од две полуправе на нормали означити као позитивну, а коју као негативну. Сваки од ова два избора одређује другачију оријентацију картезијанске равни.
Уобичајени начин оријентације равни, при чему је позитивна x-оса усмерена удесно, а позитивна y-оса усмерена нагоре (x-оса је "прва", а y-оса "друга" оса), сматра се да је позитивна или стандардна оријентација, која се назива и деснострана оријентација.
Често коришћена мнемоника за дефинисање позитивне оријентације је правило десне руке. Постављањем донекле затворене десне руке на раван са палцем окренутим нагоре, прсти упиру од x-осе ка y-оси, у позитивно оријентисаном координатном систему. Други начин оријентације равни је праћење правила леве руке, постављање леве руке на раван са палцем окренутим нагоре. Када се палац усмери од почетка дуж осе ка позитивном, закривљеност прстију указује на позитивну ротацију дуж те осе. Без обзира на правило које се користи за оријентацију равни, ротирање координатног система ће сачувати оријентацију. Промена било које осе ће обрнути оријентацију, али мењање обе ће оставити оријентацију непромењеном.
Три димензије thumb|Слика 7 – Лева оријентација је приказана на левој страни, а деснорука на десној страни. thumb|Слика 8 – Десни Декартов координатни систем који показује координатне равни
Када су x- и y-осе специфициране, оне одређују линију дуж које треба да лежи z-оса, али постоје две могуће оријентације за ову линију. Два могућа координатна система, која резултирају, називају се 'десноруки' и 'леворуки'. Стандардна оријентација, где је xy раван хоризонтална, а z-оса усмерена нагоре (а x- и y-оса формирају позитивно оријентисан дводимензионални координатни систем у xy-равни ако се посматра одозго xy-равни) назива се десна или позитивна.
thumb|3Д картезијанске координатне оријентације