thumb|right|220px|Zlati trikotnik. je zlati rez . Notranji kot pri vrhu med krakoma (vršni kot) je 36°, notranja kota ob osnovnici pa sta 72°. thumb|right|220px|Zlati gnomon. Dolžine stranic so v razmerju . Zlati trikotnik, imenovan tudi sublimirani trikotnik, je enakokraki trikotnik, v katerem sta dolžini krakov v zlatem rezu glede na osnovnico:
Koti
notranji kot med krakoma (vršni kot) je enak:
Zato je zlati trikotnik ostrokotni (enakokraki) trikotnik.
ker se vsota notranjih kotov trikotnika ujema s radiani, je vsak od dveh kotov ob osnovnici (CBX in CXB) enak:
Pri tem velja:
zlati trikotnik je trikotnik, katerega notranji koti so v razmerjih 1 : 2 : 2 (namreč 36°, 72° in 72°).
V drugih geometrijskih likih, telesih in figurah
thumb|right|220px|Zlati trikotnik v pravilnem desetkotniku. zlate trikotnike se lahko najde v konicah pravilnih pentagramov.
zlate trikotnike se lahko najde tudi v pravilnem desetkotniku enakokotnem in enakostraničnem desetstraničnem mnogokotniku, tako da se poljubni dve sosednji oglišči poveže s središčem. To je zato, ker velja kar je notranji kot desetkotnika, in če se ga razpolovi skozi oglišče do središča, velja , kar je enako kotoma ob osnovnici zlatega trikotnika.
zlati trikotniki se nahajajo tudi v mrežah več stelacij dodekaedrov in ikozaedrov.
Logaritemska spirala
thumb|right|220px|Zlati trikotniki in zlati gnomoni, vgnezdeni v logaritemsko spiralo.
Zlati trikotnik se uporablja za oblikovanje nekaterih točk logaritemske spirale. Z razpolavljenjem enega od osnovnih kotov se ustvari nova točka, ki nato tvori drug zlati trikotnik. Postopek razpolavljanja se lahko nadaljuje v nedogled, pri čemer nastane neskončno število zlatih trikotnikov. Skozi oglišča se lahko nariše logaritemska spirala. Ta spirala je znana tudi kot enakokotna spirala, izraz, ki ga je skoval René Descartes. »Če se nariše premico od pola do poljubne točke na krivulji, seka krivuljo pod natanko enakim kotom,« zato enakokotna. Ta spirala se razlikuje od zlate spirale zlata spirala se v vsaki četrtini obrata poveča za faktor zlatega reza, medtem ko spirala skozi te zlate trikotnike raste za isti faktor pod kotom 108°.
Zlati gnomon
right|thumb|220px|Zlati trikotnik, razdeljen na Robinsonova trikotnika zlati trikotnik in zlati gnomon. thumb|right|220px|Petkotnik z včrtanim debelim rombom (svetlo), ostrokotnima Robinsonovima trikotnikoma (rahlo senčeno) in majhnim topokotnim Robinsonovim trikotnikom (temnejše). Pikčaste črte dajejo dodatne stranice za včrtane deltoide in puščice. right|thumb|220px|Zlati trikotnik (rdeče), veliki (modro) in majhni (zeleno) zlati gnomon v pravilnem pentagramu.
Tesno povezan z zlatim trikotnikom je zlati gnomon, ki je enakokraki trikotnik, v katerem je razmerje med dolžinama krakov in dolžino osnovnice enako obratni vrednosti zlatega reza .
Zlati trikotnik ima razmerje med dolžino osnovnice in dolžinama krakov enako zlatemu rezu , zlati gnomon pa ima to razmerje med dolžinama krakov in dolžino osnovnice:
Koti
(Obe razdalji in sta enaki , razdalja pa je enaka , kakor je razvidno iz slike.) vršni kot je enak:
Zato je zlati gnomon topokotni (enakokraki) trikotnik.
Pri tem velja:
ker je vsota notranjih kotov trikotnika enaka radianov, je vsak od kotov ob osnovnici in enak:
Pri tem velja:
zlati gnomon je trikotnik, katerega trije koti so v razmerjih 1 : 1 : 3 (namreč 36°, 36° in 108°). Njegova notranja kota ob osnovnici sta enaka 36°, kar je enako vršnemu kotu zlatega trikotnika.
Razpolavljanja
z razpolavljenjem enega od njegovih kotov ob osnovnici se lahko zlati trikotnik razdeli na zlati trikotnik in zlati gnomon. s tretjinjenjem vršnega kota se lahko zlati gnomon razdeli na zlati trikotnik in zlati gnomon. zlati gnomon in zlati trikotnik z enakima stranicama, ki se ujemata po dolžini, se imenujeta tudi topi in ostri Robinsonov trikotnik.
Pokritja
zlati trikotnik in dva zlata gnomona pokrijeta pravilni petkotnik. oba enakokraka trikotnika se lahko uporabi za izdelavo Penroseovega pokritja. Penroseovo pokritje sestavljajo (konveksni) deltoidi in puščice (konkavni deltoidi). Tak deltoid sestavljata dva sosednja zlata trikotnika, tako puščico pa dva sosednja zlata gnomona.
Glej tudi
zlati pravokotnik
Kimberlingov zlati trikotnik Keplerjev trikotnik
pentagram
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Kategorija:Vrste trikotnikov Kategorija:Zlati rez