thumb|right|220px|Par Keplerjevih trikotnikov v pravokotniku s stranicama in ter diagonalama . Trikotnika sta edina pravokotna trikotnika z dolžinami stranic v geometrijskem zaporedju (). thumb|right|220px|Keplerjev trikotnik je posebni pravokotni trikotnik, ki ga tvorijo trije kvadrati s ploščinami v geometrijskem zaporedju glede na zlati rez s količnikom . Keplerjev trikotnik (ali tudi zlati pravokotni trikotnik) je posebni pravokotni trikotnik z dolžinami stranic v gemetrijskem zaporedju. Količnik zaporedja je enak , kjer je zlati rez, zaporedje pa se lahko zapiše kot ali približno . Kvadrati ob njegovih stranicah imajo ploščine v drugem geometrijskem zaporedju . Alternativne definicije istega trikotnika ga označujejo s tremi pitagorejskimi sredinami dveh števil ali s polmerom včrtane krožnice enakokrakih trikotnikov.
Trikotnik se imenuje po Johannesu Keplerju, vendar ga je mogoče najti tudi v starejših virih. Čeprav nekateri viri trdijo, da so imele staroegipčanske piramide razmerja, ki so temeljila na Keplerjevem trikotniku, večina učenjakov meni, da egipčanska matematika in arhitektura nista poznala zlatega reza.
Zgodovina
Kepler trikotnik se imenuje po nemškem matematiku in astronomu Johannesu Keplerju (1571–1630), ki je pisal o njegovi obliki v pismu leta 1597. Keplerja sta zanimala dva koncepta, ki ju je mogoče uporabiti za analizo tega trikotnika, Pitagorov izrek in zlati rez, kot je zapisal drugje:
Vendar Kepler ni bil prvi, ki je opisal ta trikotnik. Kepler sam ga je pripisal »profesorju glasbe po imenu Magirus«. Isti trikotnik se pojavlja že prej v knjigi arabske matematike Knjiga merjenj () Abû Bekre, znani iz prevoda Gerarda iz Cremone v latinščino iz 12. stoletja, in v knjigi Leonarda Fibonaccija Praktična geometrija (, objavljeni v letih 1220–1221), ki ga je definiral podobno kot Kepler. Malo prej kot Kepler je o njem leta 1567 pisal Pedro Nunes in »je bil verjetno razširjen v poznosrednjeveških in renesančnih rokopisnih tradicijah«. Prav tako je bil večkrat neodvisno ponovno odkrit, pozneje kot Kepler.
thumb|right|220px|Pravokotni trikotnik, ki ga tvorijo središče osnovnice stranske ploskve, središče osnovnice in vrh kvadratne piramide. Nekateri piramidologi so teoretizirali, da je bil trikotnik, ki je bil na ta način oblikovan za Veliko piramido v Gizi, mišljen kot Keplerjev trikotnik.
Po mnenju nekaterih avtorjev »zlata piramida« z dvojnim Keplerjevim trikotnikom v preseku natančno opisuje zasnovo egipčanskih piramid, kot je Velika piramida v Gizi en vir te teorije je napačna interpretacija Herodota, ki jo je iz 19. stoletja naredil piramidolog John Taylor. Za isto piramido je bilo predlaganih veliko drugih teorij o proporcih, ki niso povezane s Keplerjevim trikotnikom. Ker so si te različne teorije zelo podobne v številskih vrednostih, ki jih dobijo, in zaradi netočnosti pri merjenjih, ki jih deloma povzroča uničenje zunanje površine piramide, je takšne teorije težko razrešiti zgolj na podlagi fizičnih dokazov. Ujemanje proporcev s Keplerjevim trikotnikom je lahko numerično naključje: po mnenju znanstvenikov, ki so raziskovali to razmerje, stari Egipčani najverjetneje niso poznali ali uporabljali zlatega reza v svoji matematiki ali arhitekturi. Namesto tega je mogoče proporce piramide ustrezno pojasniti s pomočjo celoštevilskih razmerij, ki temeljijo na pravokotnem trikotniku s stranicama
Ime »Keplerjev trikotnik« za ta lik je Roger Herz-Fischler na podlagi Keplerjevega pisma iz leta 1597 uporabil že leta 1979. Drugo ime za isti trikotnik, ki ga je Matila Ghyka uporabil v svoji knjigi o zlatem rezu iz leta 1946, Geometrija umetnosti in življenja (), je »Priceov trikotnik«, po piramidologu W. A. Priceu. Price je tudi dokazal, da je Keplerjev trikotnik edini pravokotni trikotnik v katerem dolžine stranic tvorijo geometrijsko zaporedje.
Definicije
thumb|right|220px|Ko se iz dveh Keplerjevih trikotnikov, zrcaljenih čez njuna daljša kraka, tvori enakokraki trikotnik, ima ta največji možni polmer včrtane krožnice med vsemi enakokrakimi trikotniki z dano velikostjo.
Keplerjev trikotnik je enolično definiran z lastnostima, da je pravokotni trikotnik in da dolžine njegovih stranic tvorijo geometrijsko zaporedje, oziroma, kar je enakovredno, da kvadrati njegovih stranic tvorijo geometrijsko zaporedje. Razmerje progresije dolžin stranic je kjer je zlati rez, zaporedje pa se lahko zapiše kot: ali približno 1 : 1,272 : 1,618. Kvadrati stranic tega trikotnika imajo ploščine v drugem geometrijskem zaporedju . Dejstvo, da je trikotnik s temi razmerji pravokotni trikotnik, izhaja iz dejstva, da je za kvadrate dolžin stranic s temi razmerji definirajoči polinom zlatega reza enak formuli, ki jo da Pitagorov izrek za kvadrate dolžin stranic pravokotnega trikotnika:
Ker ta enačba velja za zlati rez, za te tri dolžine velja Pitagorov izrek in tvorijo pravokotni trikotnik. Nasprotno pa v poljubnem pravokotnem trikotniku, katerega kvadrati dolžin stranic tvorijo geometrijsko zaporedje s poljubnim razmerjem , iz Pitagorovega izreka izhaja, da za to razmerje velja enakost . Zato mora biti razmerje edina pozitivna rešitev te enačbe zlati rez, in trikotnik mora biti Keplerjev trikotnik.
Tri dolžine stranic , in so harmonična, geometrična in aritmetična sredina dveh števil
Vsi ti trije načini združevanja dveh števil so bili preučevani v starogrški matematiki in se imenujejo pitagorejske sredine. Nasprotno pa se lahko to vzame kot alternativno definicijo Keplerjevega trikotnika to je pravokotni trikotnik, katerega dolžine stranic so tri pitagorejske sredine kakšnih dveh števil. In edini trikotniki, za katere to velja, so Keplerjevi trikotniki.
Tretji, enakovreden način definiranja tega trikotnika izhaja iz problema maksimiranja polmera včrtane krožnice enakokrakih trikotnikov. Med vsemi enakokrakimi trikotniki s fiksno izbiro dolžine obeh krakov, vendar s spremenljivo dolžino osnovnice, je tisti z največjim polmerom včrtane krožnice oblikovan iz dveh kopij Keplerjevega trikotnika, zrcaljenih čez njuni daljši kateti drug od drugega. Zato se lahko Keplerjev trikotnik definira kot pravokotni trikotnik, ki med vsemi pravokotnimi trikotniki z isto hipotenuzo s svojim zrcaljenjem tvori enakokraki trikotnik z največjim polmerom včrtane krožnice. Isto zrcaljenje tvori tudi enakokraki trikotnik, ki za dani obseg vsebuje največjo možno polkrožnico.
Splošne lastnosti
thumb|right|220px|Keplerjev trikotnik v kvadratu. Njegova očrtana krožnica in ta kvadrat imata približno enak obseg thumb|right|220px|V Coxeterjevem loksodromskem zaporedju tangentnih krožnic središča vsake od sosednjih krožnic tvorijo večji nepravi kot Keplerjevega trikotnika.
Če ima najkrajša stranica Keplerjevega trikotnika dolžino , bosta imeli drugi dve stranici dolžini in . Ploščina se lahko izračuna s standardno formulo za pravokotne trikotnike (polovica produkta dveh krajših stranic) kot:
Kosinus večjega od dveh nepravih kotov je enak razmerju med sosednjo kateto (krajšo od obeh stranic) in hipotenuzo , ki je enak , iz česar sledi, da sta neprava ostra notranja kota enaka:
Jerzy Kocik je opazil, da je večji od teh dveh nepravih kotov tudi kot, ki ga tvorijo središča trojic zaporednih krožnic v Coxeterjevem loksodromskem zaporedju tangentnih krožnic.
Konstrukcije
thumb|right|220px|Metoda za konstrukcijo Keplerjevega trikotnika z uporabo zlatega pravokotnika.
Keplerjev trikotnik se lahko skonstruira z (neoznačenim) ravnilom in s šestilom tako, da se najprej nariše zlati pravokotnik, oziroma da se skonstruira zlati rez na naslednji način:
skonstruira se kvadrat (na sliki s stranico dolžine ) od sredine ene stranice kvadrata do nasprotnega oglišča se nariše daljica s to daljico se nariše lok s polmerom, ki določa daljšo stranico pravokotnika dopolni se zlati pravokotnik (zlati rez) z daljšo stranico tega pravokotnika se nariše lok, ki pri sekanju nasprotne stranice pravokotnika določa dolžini hipotenuze in daljše katete Keplerjevega trikotnika.
Kepler je ta trikotnik skonstruiral drugače. V pismu svojemu nekdanjemu učitelju Michaelu Maestlinu, je zapisal: »Če konstruiramo pravokotni trikotnik na premici, razdeljeni v ekstremnem in srednjem razmerju tako, da je pravi kot v delilni točki, bo krajša stranica enaka daljšemu odseku razdeljene premice.«
Matematično naključje
Obravnava se Keplerjev trikotnik z dolžinami stranic kateremu je očrtana krožnica in kvadrat z dolžino stranice enaki dolžini večje katete trikotnika. Vidi se, da se obseg kvadrata in obseg krožnice ujemata s točnostjo 0,1 %.
To je matematično naključje , :
Ta kvadrat in krožnica ne moreta imeti popolnoma enakega obsega, saj bi to rešilo klasični nerešljiv problem kvadrature kroga, ki ga je nemogoče rešiti, ker je transcendentno število
Glej tudi
, trikotnik, katerega kvadrati dolžin stranic tvorijo aritmetično zaporedje, vključno s pravokotnim trikotnikom z dolžinami stranic . zlati trikotnik, enakokraki trikotnik, katerega razmerje med osnovnico in dolžino krakov je enako zletemu rezu.
Sklici
Viri
Celotna knjiga obravnava mnoge alternativne teorije o obliki te piramide. Za gradivo, specifično za Keplerjev trikotnik, glej 11. poglavje, »Kepler triangle theory«, str. 80–91, in str. 166 za sklep, da je teorijo Keplerjevega trikotnika mogoče izločiti z načelom, da »mora teorija ustrezati ravni matematike, ki je skladna s tem, kar so poznali stari Egipčani«. Za zgodovino Keplerjevega dela s tem trikotnikom glej opombo 3, str. 229.
. Glej tudi obsežno razpravo o več alternativnih teorijah o obliki piramide in drugi egipčanski arhitekturi, str. 7–56.
Kategorija:Vrste trikotnikov Kategorija:Zlati rez Kategorija:Johannes Kepler