thumb|Dôkaz tvrdenia, že každá úsečka je stranou nejakého rovnostranného trojuholníka, pochádzajúce z Euklidovych Základov. Jeden z najstarších dochovaných matematických dôkazov.

Dôkaz je v matematike presvedčivá demonštrácia, že nejaké tvrdenie je za určitých predpokladov (axióm) nevyhnutne pravdivé. Matematický dôkaz musí byť založený výlučne na nespochybniteľných pravidlách rozumu (tie sú vyjadrené v matematickej logike vo forme logických axióm), nepripúšťa sa žiaden postup založený na názore, experimente, pozorovaní, intuícii či skúsenosti. Táto skutočnosť robí z matematického dôkazu najistejší známy spôsob overenia pravdivosti nejakého tvrdenia. Tvrdenie, ku ktorému je známy matematický dôkaz, sa nazýva matematická veta.

Princíp matematického dôkazu Možno tvrdiť, že pojem rigorózneho matematického dôkazu je tým, čím sa matematika výrazne odlišuje od ostatných vedeckých disciplín. Matematický dôkaz je totiž na rozdiel od dôkazov v iných oblastiach ľudského konania (napr. v práve, prírodných vedách, atď.) aspoň principiálne nespochybniteľný. Nie je vylúčené, že sa podarí matematicky dokázať tvrdenie, ktoré v skutočnosti neplatí. Dôkaz tohto tvrdenia potom ale musí byť nevyhnutne chybný a táto chyba musí byť (po dostatočne dôkladnom preskúmaní) odhaliteľná. Zdrojom omylov pri matematickom dokazovaní teda nie je samotný pojem dôkazu, ale výhradne chybujúci ľudia.

Induktívne vs. deduktívne dokazovanie

Induktívne dokazovanie Vo všetkých vedeckých disciplínach s výnimkou matematiky sú teórie posudzované podľa miery súladu s reálnym svetom a podľa toho, nakoľko presne dokážu vysvetľovať a predpovedať reálne javy. Nové teórie sú budované tak, aby zodpovedali experimentálne zisteným údajom. Ak sú s týmito dátami v súlade, sú vyhlásené za správne. Ak je za nejaký čas vyslovená hypotéza, o ktorej platnosti súčasná teória nie je schopná rozhodnúť, vykoná sa experiment, podľa výsledku ktorého sa táto hypotéza buď zavrhne, alebo zapracuje do uznávanej teórie. Ak sa neskôr objavia nové experimentálne dáta, ktoré sú v spore s existujúcou teóriou, je táto teória zavrhnutá a nahradená novou teóriou. Tento spôsob overovania hypotéz a budovanie teórií sa nazýva induktívny.

Príkladom induktívneho dôkazu môže byť spôsob zdôvodnenia tvrdenia „Zajtra ráno vyjde slnko“. Zo skúsenosti našej i našich predkov vieme, že slnko vyšlo už mnohotisíckrát. Naproti tomu nemáme žiadne správy o tom, že by nejaké ráno slnko nevyšlo. Navyše slnko poslednou dobou nevykazuje žiadne nezvyčajné správanie, ktoré by napovedalo tomu, že je s ním niečo inak, než kedykoľvek v zaznamenanej histórii. Na základe týchto skutočností teda usúdime, že za úplne zanedbateľnej možnosti omylu slnko zajtra ráno opäť vyjde.

Induktívne dokazovanie však môže byť veľmi zradné. Napríklad v klasickej mechanike je prijímané za pravdivé tvrdenie, známe ako druhý Newtonov pohybový zákon, ktoré tvrdí: „Ak na teleso pôsobí sila, potom sa teleso pohybuje so zrýchlením, ktoré je priamo úmerné pôsobiacej sile a nepriamo úmerné hmotnosti telesa“. Toto tvrdenie zodpovedalo až do druhej polovice 19. storočia všetkým vykonávaným experimentom, a bolo teda považované za pravdivé – induktívne dokázané. Po tom, čo na prelome 19. a 20. storočia niektoré experimenty preukázali, že pohyb svetla sa neriadi Newtonovými zákonmi, bolo toto tvrdenie spolu s celou klasickou mechanikou zavrhnuté a nahradené teóriou relativity. Podľa tejto teórie vyvoláva sila pôsobiaca na teleso pohybujúce sa rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla len minimálne zrýchlenia a zvyšok vloženej energie spôsobuje zvýšenie hmotnosti telesa.

Z posledného príkladu je zrejmé, že induktívne dokázané tvrdenie nemôže byť nikdy považované za úplne nespochybniteľné. Žiadne, hoci sebeväčšie, množstvo experimentálnych údajov potvrdzujúcich toto tvrdenie totiž nemôže zaručiť, že nejaký v budúcnosti vykonaný experiment s ním nebude v spore.

Deduktívne dokazovanie Naproti tomu deduktívny dôkaz je taký, v ktorom je dané tvrdenie dokázané zo stanovených predpokladov iba na základe logických úvah. Navyše tieto logické úvahy sú rozdelené do konečného množstva krokov, z ktorých v každom je odvodené len jediné tvrdenie bezprostredne vyplývajúce z predtým odvodených. Z týchto dôvodov je deduktívne dokázané tvrdenie pravdivé, ak sú pravdivé predpoklady, z ktorých bolo odvodené. Táto pravdivosť je navyše úplne nespochybniteľná, pretože dôkaz možno rozdeliť do konečne veľa krokov, z ktorých každý je len bezprostredným logickým dôsledkom skôr dokázaných tvrdení a ako taký teda nespochybniteľný.

Všetky druhy matematických dôkazov od samotných historických počiatkov tohto pojmu v starovekom Grécku až po súčasnosť, cez celú šírku najrôznejších dôkazových metód, sú dôkazy deduktívne.

Príklady induktívnych a deduktívnych dôkazov matematických tvrdení

Súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny Uvažujme tvrdenie: „Súčin každých dvoch nepárnych prirodzených čísel je nepárne prirodzené číslo“.

Ak vyskúšame niekoľko nízkych prirodzených čísel, zistíme, že pre ne tvrdenie platí: 1 · 1 = 1, 1 · 3 = 3, 3 · 1 = 3, 3 · 3 = 9, 3 · 5 = 15, …. Podobne by sme napríklad s použitím počítača mohli overiť, že tvrdenie platí pre všetky čísla menšie ako 1 000 000, ak by nám to nestačilo, mohli by sme túto hranicu zvýšiť ľubovoľne vysoko, napríklad na 10 1 000 000 (číslo začínajúce jednotkou za ktorou nasleduje 1 000 000 núl), a vždy by sme zistili, že tvrdenie platí. Po určitej dobe takýchto zvyšovaní hranice by sme už mohli uznať, že sme vyskúšali dosť príkladov na to, aby sme si boli takmer stopercentne istí správnosťou nášho tvrdenia. Tým sme toto tvrdenie dokázali induktívne. Nikdy si však nemôžeme byť úplne istí, že nejaký kontrapríklad neleží tesne za číslom, na ktorom sme testovanie ukončili.

Naproti tomu deduktívny dôkaz je nasledujúci. Ak je m nepárne číslo, je m − 1 číslo párne, teda existuje celé číslo k také, že m − 1 = 2 · k. Za k totiž stačí zvoliť (m − 1) / 2, čo je celé číslo práve vďaka párnosti m − 1. Potom m = 2 · k + 1. Podobne zdôvodníme, že pre nepárne n existuje také celé číslo l, že n = 2 · l + 1. Potom súčin m · n sa rovná (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1. Pretože 4 · k · l + 2 · k + 2 · l je zjavne párne, je m · n nepárne, čo sme chceli dokázať. Až teraz si môžeme byť stopercentne istí tým, že tvrdenie platí. Ak sú totiž dané dve nepárne čísla, platí pre ne každý jednotlivý krok dôkazu, a teda aj jeho záver.

Hypotéza prvočíselných dvojíc

Hypotéza prvočíselných dvojíc je zatiaľ (marec 2012) nedokázané tvrdenie z oblasti teórie čísel, podľa ktorého existuje nekonečne veľa prvočísel p takých, že aj p + 2 je prvočíslo. Dvojica takýchto čísel (p, p + 2) sa nazýva prvočíselná dvojica.

Najväčšia dosiaľ známa prvočíselná dvojica je (2003663613 · 2 195000 − 1; 2003663613 · 2 195000 + 1), obe čísla tejto dvojice majú (v desiatkovej sústave) 58 711 cifier. Hoci sú známe takto veľké príklady prvočíselných dvojíc, nie je možné považovať hypotézu za deduktívne (matematicky) preukázanú, pretože je možné, že žiadna ďalšia väčšia prvočíselná dvojica už nikdy nájdená nebude – jednoducho preto, že neexistuje. Ale predpokladá sa (a treba dodať, že nielen kvôli tu naznačenému induktívnemu dôkazu), že tvrdenie platí. Jeho dôkaz tak zostáva jednou z najväčších výziev súčasnej teórie čísel.

Gödelove vety a hranice deduktívnych metód

Podľa Gödelových viet o neúplnosti existujú v každej dostatočne zložitej (natoľko, aby v nej išlo hovoriť o prirodzených číslach) matematickej teórii, ktorej axiómy možno efektívne vypísať, tvrdenia, ktoré v tejto teórii sa nedá ani dokázať, ani vyvrátiť (teória je takzvane neúplná). Medzi takéto teórie patria napríklad Peanova aritmetika alebo Zermelo-Fraenkelova teória množín.

Tieto vety teda hovoria, že deduktívny spôsob dokazovania je do značnej miery limitovaný. Nie je totiž možné deduktívne dokázať ani všetky tvrdenia, ktoré platia o tak jednoduchom a prístupnom odbore, akým sú prirodzené čísla.

Historický vývoj

Starovek Egypt a Babylonia thumb|Časť Rhindovho papyrusu – zbierky 84 vyriešených úloh pochádzajúcej z obdobia medzi strednou a novou ríšou v starovekom Egypte Od starých Egypťanov a Babylončanov nie sú dochované žiadne matematické dôkazy v dnešnom slova zmysle. Zachovalo sa veľa záznamov zachytávajúcich riešenie rôznych konkrétnych problémov a úloh. Predpokladá sa, že tieto problémy boli už natoľko abstraktné, a tieto riešenia tak elegantné, že v ich pozadí muselo stať hlboké porozumenie danej oblasti, implicitne zahŕňajúce dôkazy správnosti používaných metód.

Čína V Číne 5. až 3. storočie pred Kr. sa okrem praktickej matematiky rozvíjala aj logika. Tej sa venovala najmä škola následníkov filozofa Mo Tiho, ktorej príslušníci sa zaoberali teóriou poznania a svoje tvrdenia logicky dokazovali. Jedným z najvýznamnejších následníkov Mo Tiho bol Kung-sun Lung žijúci v prvej polovici tretieho storočia pred naším letopočtom.

Logický dôkaz však nebol v Číne ďalej rozvíjaný. Mo Tiho učenie bolo totiž za vlády dynastie Chan úplne vytlačené konfucionizmom a neskorší čínski filozofi sa k nemu už nikdy nevrátili.

Grécko Pojem deduktívneho matematického dôkazu má svoj pôvod v starovekom Grécku. Rovnako ako celá vtedajšia matematika, bol aj matematický dôkaz veľmi úzko spätý s geometriou. Najstaršie matematické dôkazy pochádzajú práve z tejto doby – zachovali sa v trinásťdielnom Euklidovom spise Základy.

Evidencia v platónskom poňatí geometrie Matematický dôkaz, tak ako ho poznáme v dnešnej dobe, má svoje počiatky v gréckej geometrii, rozvíjanej pod vplyvom Platónovej filozofie. Ovplyvnení touto filozofiou, snažili sa vtedajší geometri odkrývať svet geometrických ideí a nazerať pravdu v ňom obsiahnutú. V tomto poňatí matematický dôkaz v dnešnom zmysle slova ešte neexistoval. Jedinou možnosťou, ako s úplnou istotou zistiť pravdu o geometrickom svete, bolo túto pravdu priamo nazerať – evidovať ju. Ak sa nejakému geometrovi podarilo evidovať platnosť napríklad Pytagorovej vety – t. j. na malú chvíľu skutočne zazrel, že súčet veľkostí obsahov dvoch štvorcov nad odvesnami pravouhlého trojuholníka je rovný veľkosti obsahu štvorca nad jeho preponou, bolo to vždy len na dobu, po ktorú trvalo jeho sústredenie. Hneď ako pozornosť poľavila, zrak, ktorým prezeral do sveta geometrických ideí, sa zahmlil a evidencia bola stratená. Aby si kedykoľvek znovu mohol túto evidenciu obnoviť a tiež aby rovnakú možnosť poskytol aj ostatným matematikom, spísal potom takýto geometer návod, ako by mal človek postupovať (t. j. do akých miest geometrického sveta sa pozerať), aby znovu pravdivosť Pytagorovej vety spozoroval. Takéto návody, z ktorých sa neskôr (v aristotelovskom poňatí geometrie) vyvinuli geometrické konštrukcie, boli najstaršími predchodcami matematických dôkazov.

Vznik matematického dôkazu