Сфера Пуанкаре — пример трёхмерной гомологической сферы, то есть трёхмерное многообразие, все гомологические группы которого совпадают с гомологическими группами трёхмерной сферы.
Пример был построен Пуанкаре. Этот пример показывает, что условие на фундаментальную группу в гипотезе Пуанкаре не может быть ослаблено до условия на группы гомологий.
Построения Сфера Пуанкаре может быть получена из додекаэдра склеиванием каждой грани с противоположной, повёрнутой на угол по часовой стрелке. Сфера Пуанкаре может быть также получена как фактор трёхмерной сферы по бинарной группе икосаэдра, или как фактор группы вращений трёхмерного пространства по группе вращений икосаэдра. Сфера Пуанкаре может быть также получена из трёхмерной сферы перестройкой Морса вдоль трилистника.
Свойства Сфера Пуанкаре — единственная гомологическая трёхмерная сфера отличная от стандартной сферы и имеющая конечную фундаментальную группу. Надстройка сферы Пуанкаре является четырёхмерным гомологическим многообразием, но не топологическим многообразием. Двойная надстройка сферы Пуанкаре гомеоморфна стандартной пятимерной сфере.
Литература Poincar'e's homology sphere на Manifold Atlas Project
Категория:Топологические пространства