Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается . Она находит применения в классификации топологических пространств, кристаллографии и алгоритмах компьютерной графики.
Определения Для конечного клеточного комплекса (в частности, для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
где обозначает число клеток размерности .
Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти как знакопеременная сумма:
Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов. Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.
Свойства Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант. Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулюRicheson 2008, p. 261. Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:
Эйлерова характеристика полиэдров Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
Формула Гаусса — Бонне Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику с гауссовой кривизной многообразия:
где — элемент площади поверхности .
Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем. Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне. Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на . Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
Величина эйлеровой характеристики НазваниеВидЭйлерова характеристикаОтрезок1Окружность0Круг1сфера2Тор (произведение двух окружностей)0Двойной тор−2Тройной тор−4Вещественная проективная плоскость1Лента Мёбиуса0Бутылка Клейна0Две сферы (несвязные)2 + 2 = 4Три сферы2 + 2 + 2 = 6
История В 1752 году ЭйлерL. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94-108. Перевод на английский язык: Leonhard Euler Proof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed . (Translated by Christopher Francese and David Richeson) опубликовал формулу, связывающую между собой количество вершин, граней и рёбер трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.
Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.
В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое где — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка:
В 1899 году ПуанкареH. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7. обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:
где — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.
Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:
Вариации и обобщения Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.
См. также Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Примечания
Литература
Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна
Категория:Алгебраическая топология Категория:Топологическая теория графов Категория:Комбинаторика многогранников Категория:Топологические инварианты Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера