Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы (см. ниже).

Базовые примеры Сдвиг Бернулли

Пусть  — пространство последовательностей в алфавите , то есть,

Сдвигом Бернулли называется динамическая система , где  — отображение левого сдвига,

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

получающуюся динамическую систему также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

любой точке может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

При этом для необратимых динамических систем естественно рассматривать односторонние последовательности односторонняя, то есть Для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, .

Отображение или , заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

Где — сдвиг Бернулли.

Отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным. Тем не менее, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве или на его части.

Литература П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация. В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.

Категория:Динамические системы