Теорема Оселедца (мультипликативная эргодическая теорема) — фундаментальное утверждение эргодической теории и теории динамических систем, дающее строгие условия существования показателей Ляпунова и соответствующего им инвариантного разложения пространства состояний.
Теорема была доказана Валерием Оселедцем в 1965 году, а доклад о результате представлен на Международном математическом конгрессе в 1966 году. Позднее альтернативное доказательство предложил M. S. Raghunathan. Теорема была обобщена на случай полупростых групп Ли (работы В. А. Каймановича) и получила дальнейшее развитие в работах Д. Рюэлля, Г. А. Маргулиса, А. Карлссона и François Ledrappier.
Формулировка Пусть (X, μ, T) — вероятностное пространство с эргодическим преобразованием T, и пусть A(x) — измеримый линейный коколь над T. Тогда существуют:
конечный набор чисел λ₁ > λ₂ > … > λₖ — показатели Ляпунова; T-инвариантная фильтрация подпространств V₁(x) ⊃ V₂(x) ⊃ … ⊃ Vₖ(x),
такая, что для любого ненулевого вектора v ∈ Vᵢ(x) \ Vᵢ₊₁(x) выполняется
для μ-почти всех x ∈ X.
Значение Теорема Оселедца даёт математически строгий фундамент для определения показателей Ляпунова — экспоненциальных скоростей расхождения близких траекторий. Это ключевой инструмент при изучении:
нелинейных и хаотических динамических систем; устойчивости решений дифференциальных уравнений; случайных динамических систем и стохастических процессов; свойств гиперболичности и инвариантных подпространств; численных методов анализа хаоса.
Соответствующее разложение пространства называется разложением Оселедца или Оселедецовым расслоением.
Обобщения С момента появления были разработаны многочисленные расширения теоремы:
для неинвертируемых (semi-invertible) коколов; для случайных операторов; для операторов на банаховых и фреше-пространствах; усиленные версии в гладких динамических системах (Рюэль, Пезин, Ледрапье); обобщения на действие групп Ли и более общих групповых коколов.
Эти результаты играют важную роль в современной теории хаоса, термодинамической формализации и геометрической теории динамических систем.
См. также Показатель Ляпунова Эргодическая теория Гиперболическая динамическая система Динамическая система
Литература Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды ММО. — 1968. — Т. 19. — С. 179–210. Статья «Oseledets theorem» в Scholarpedia. Ruelle D. Ergodic theory of differentiable dynamic systems // IHÉS Publ. Math. — 1979. — № 50. — С. 27–58.
Категория:Эргодическая теория Категория:Динамические системы Категория:Математические теоремы
Категория:Случайные процессы