thumb|Indicator rutier cu distanțele până la destinații Distanța este o măsură numerică sau uneori calitativă a distanței dintre obiecte, puncte, persoane sau idei. În fizică sau în uzul cotidian, distanța se poate referi la o lungime fizică sau la o estimare bazată pe alte criterii (de exemplu, „la distanța de două străzi”). Termenul este folosit frecvent și metaforic, înseamnând o măsură a diferenței dintre două obiecte similare (cum ar fi distanța statistică între distribuțiile de probabilitate) sau gradul de separare (exemplificat de dintre persoanele dintr-o rețea de socializare). Majoritatea acestor noțiuni de distanță, atât fizice, cât și metaforice, sunt formalizate în matematică folosind noțiunea de spațiu metric.
În științele sociale distanța se poate referi la o măsură calitativă a separării, cum ar fi sau .
Distanțe în fizică și geometrie În contexte diferite, distanța dintre pozițiile fizice poate fi definită în moduri diferite.
Distanța euclidiană
Distanța dintre două puncte din spațiul fizic este lungimea segmentului dintre ele, care este cea mai scurtă cale posibilă. Aceasta este semnificația obișnuită a distanței în fizica clasică, inclusiv în mecanica newtoniană.
Distanța în linie dreaptă este formalizată matematic ca distanța euclidiană în spațiile euclidiene bidimensional și tridimensional. În geometria euclidiană distanța dintre două puncte și este adesea notată cu În geometria coordonatelor, distanța euclidiană se calculează folosind teorema lui Pitagora. Distanța dintre punctele și în plan este dată de:
Similar, în spațiul tridimensional, fiind date punctele și distanța între ele este:
Această noțiune se generalizează la spațiile euclidiene de dimensiuni superioare.
Măsurare Există multe modalități de măsurare a distanțelor în linie dreaptă. De exemplu, se poate face direct folosind o riglă sau indirect cu un radar (pentru distanțe lungi) sau prin interferometrie (pentru distanțe foarte scurte). Măsurarea distanțelor în astronomie are metode de măsurare a distanțelor extrem de mari.
Cea mai mică distanță pe o suprafață curbă thumb|upright=2|Rutele aeriene dintre Los Angeles și Tokyo urmează aproximativ un cerc mare spre vest (sus), dar folosesc curentul jet (jos) atunci când se îndreaptă spre est. Cel mai scurt drum apare ca o curbă, nu ca o dreaptă, deoarece proiecția hărții nu scalează la fel toate distanțele de pe suprafața sferică reală a Pământului.
Distanța în linie dreaptă dintre două puncte de pe suprafața Pământului nu este foarte utilă în majoritatea cazurilor, deoarece nu se poate săpa un tunel direct prin Pământ. Practic, se măsoară cel mai scurt drum de-a lungul suprafeței Pământului, în linie dreaptă. Aceasta este aproximată matematic prin distanța pe un cerc mare al sferei Pământești.
Mai general, cel mai scurt drum între două puncte de-a lungul unei suprafețe curbe este cunoscută sub numele de geodezică. Lungimea arcului geodezicelor oferă o modalitate de a măsura distanța din perspectiva unei furnici sau a altei creaturi care trăiește pe acea suprafață.
Efecte relativiste În teoria relativității, din cauza unor fenomene precum contracția lungimii și relativitatea simultaneității, distanțele dintre obiecte depind de alegerea sistemului de referință inerțial. La scară galactică și mai mare, măsurarea distanței este, de asemenea, afectată de expansiunea universului. În practică, pentru a cuantifica astfel de distanțe, în cosmologie sunt utilizate o serie de metode de măsurare a acestor distanțe.
Alte distanțe spațiale thumb|Distanța Manhattan pe un caroiaj Definițiile neobișnuite ale distanței pot fi utile pentru modelarea anumitor situații fizice, dar sunt folosite și în matematica teoretică: În practică, adesea interesează distanța de parcurs între două puncte de pe drumuri, în loc de distanța în linie dreaptă. Într-un plan hippodamic, distanța de parcurs între colțurile străzilor este dată de distanța Manhattan: numărul de străzi est-vest și nord-sud pe care trebuie parcurse pentru a ajunge între aceste două puncte. Distanța pe tablă de șah, formalizată ca distanța Cebîșev, este numărul minim de mutări pe care un rege trebuie să le facă pe o tablă de șah pentru a se deplasa între două pătrate.
Distanțe metaforice Multe noțiuni abstracte de distanță folosite în matematică, știință și inginerie reprezintă un grad de diferență sau separare între obiecte similare. În continuare se prezintă câteva exemple.
Distanță statistică În statistică și măsoară deosebirea dintre două distribuții de probabilitate. Există multe tipuri de distanțe statistice, de obicei formalizate ca ; acestea permit ca un set de distribuții de probabilitate să fie înțeles ca un obiect geometric numit . Cea mai simplă este distanța euclidiană la pătrat, care este minimizată prin metoda celor mai mici pătrate.
Distanță în teoria grafurilor Într-un graf dintre două noduri este măsurată prin lungimea celui mai scurt drum pe muchiile dintre ele. De exemplu, dacă graful reprezintă o rețea socială, atunci ideea de șase grade de separare poate fi interpretată matematic ca spunând că distanța dintre oricare două vârfuri este de cel mult șase. Similar, numărul Erdős și numărul Bacon – numărul de relații de colaborare la care o persoană se află de prolificul matematician Paul Erdős și respectiv actorul Kevin Bacon – sunt distanțe în grafurile ale căror muchii reprezintă colaborări matematice, respectiv artistice.
În științele sociale În psihologie, geografie umană și științe sociale, distanța este adesea teoretizată nu ca o măsurătoare numerică obiectivă, ci ca o descriere calitativă a unei experiențe subiective. De exemplu, reprezintă „diferitele moduri în care un obiect ar putea fi îndepărtat” de sine de-a lungul unor dimensiuni precum „timpul, spațiul, distanța socială și posibilitatea de a fi ceva ipotetic”. În sociologie distanța socială descrie separarea în societate dintre indivizi sau grupuri sociale pe criterii precum clasa socială, rasa/etnia, genul sau sexualitatea.
Formalizarea matematică
thumb|Animație care vizualizează funcția pentru diferite valori ale lui Majoritatea noțiunilor de distanță dintre două puncte sau obiecte descrise mai sus sunt exemple ale ideii matematice de metrică. O metrică sau funcție de distanță este o funcție care transformă perechi de puncte sau obiecte în numere reale și satisface următoarele reguli: Distanța dintre un obiect și el însuși este întotdeauna zero. Distanța dintre obiecte distincte este întotdeauna pozitivă. Distanța este simetrică: distanța de la la este întotdeauna aceeași cu distanța de la la . Distanța satisface inegalitatea triunghiului: dacă , și sunt trei obiecte, atunci: Această condiție poate fi descrisă informal ca „opririle intermediare nu te pot accelera”. Ca excepție, multe dintre divergențele utilizate în statistici nu sunt metrici.
Distanța între mulțimi thumb|Distanțele dintre aceste trei mulțimi nu satisfac inegalitatea triunghiului: Există mai multe modalități de a măsura distanța fizică dintre obiecte care constau din mai mult decât un singur punct: Se poate măsura distanța dintre puncte reprezentative, cum ar fi centre de masă. Aceasta este utilizată pentru distanțe astronomice, cum ar fi distanța de la Pământ la Lună. Se poate măsura distanța dintre cele mai apropiate puncte ale două obiecte; în acest sens, altitudinea unui avion sau a unei nave spațiale este distanța sa față de Pământ. Același sens al distanței este utilizat în geometria euclidiană pentru a defini distanța de la un punct la o dreaptă, distanța de la un punct la un plan, sau, mai general, distanța perpendiculară între subspații afine. Și mai general, această idee poate fi utilizată pentru a defini distanța dintre două submulțimi ale unui spațiu metric. Distanța dintre mulțimile și este al distanțelor dintre oricare două puncte respective ale acestora:: Aceasta nu definește o metrică pe mulțimea unor astfel de submulțimi: distanța dintre mulțimile suprapuse este zero, iar această distanță nu satisface inegalitatea triunghiului pentru orice spațiu metric cu două sau mai multe puncte (considerați tripletul mulțimilor constând din două singletonuri distincte și reuniunea lor). Distanța Hausdorff dintre două submulțimi ale unui spațiu metric poate fi considerată ca măsurând cât de departe sunt acestea de a se suprapune perfect. Ceva mai precis, distanța Hausdorff dintre și este fie distanța de la până la cel mai îndepărtat punct al lui , fie distanța de la până la cel mai îndepărtat punct al lui , care dintre acestea este mai mare. (Aici, „cel mai îndepărtat punct” trebuie interpretat ca un .) Distanța Hausdorff definește o metrică pe mulțimea submulțimilor compacte ale unui spațiu metric.
Idei înrudite
Cuvântul „distanță” este folosit și pentru concepte înrudite care nu sunt cuprinse în descrierea „o măsură numerică a distanței dintre puncte sau obiecte”.
Distanța parcursă „Distanța parcursă” de un obiect este lungimea unei anumite traiectorii parcurse între două puncte, cum ar fi distanța parcursă în timp ce se merge printr-un labirint. Aceasta poate fi chiar o distanță închisă de-a lungul unei curbe închise care începe și se termină în același punct, cum ar fi o minge aruncată drept în sus sau Pământul când acesta își parcurge complet orbita. Aceasta este formalizată matematic ca lungimea arcului de pe curbă.
De asemenea, distanța parcursă poate fi cu semn: o distanță „înainte” este pozitivă, iar o distanță „înapoi” este negativă.
„Distanța pe cerc” este distanța parcursă de un punct de pe circumferința unei roți, care poate fi utilă la proiectarea vehiculelor sau a angrenajelor. Circumferința roții este de ; dacă raza este 1, fiecare rotație a roții face ca un vehicul să parcurgă radiani.
Deplasarea și distanța directă thumb|Distanța de-a lungul unei traiectorii în comparație cu deplasarea. Distanța euclidiană este lungimea vectorului de deplasare. În fizica clasică deplasarea măsoară schimbarea poziției unui obiect într-un interval de timp. În timp ce distanța este o mărime scalară, deplasarea este o mărime vectorială, având atât mărime, cât și direcție. De exemplu, distanța directă de la Piața Universității la Sala Polivalentă din București este: punct de pornire: Piața Universității, punct de destinație: Sala Polivalentă din București, direcția: −79° (trigonometric), distanța: 3,41 km.
Note
Bibliografie
Vezi și Algoritmul lui Dijkstra Diferență absolută Proxemică Sistemul astronomic de unități Toleranță tehnică
Legături externe
Python SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
Julia (limbaj de programmare) Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.