Dualitatea Kramers–Wannier este o simetrie din fizica statistică. Ea pune în relație energia liberă a unui model Ising pe rețea pătrată bidimensional la temperatură joasă cu cea a unui alt model Ising la temperatură înaltă. A fost descoperită de Hendrik Kramers și în 1941. Cu ajutorul acestei dualități, Kramers și Wannier au determinat poziția exactă a punctului critic pentru modelul Ising pe rețea pătrată.

Dualități similare stabilesc relații între energiile libere ale altor modele statistice. De pildă, în tridimensionalitate, modelul Ising este dual unui model gauge Ising.

Ideea intuitivă

Modelul Ising bidimensional este definit pe o rețea, adică pe o colecție de pătrate dispuse ca pe o tablă de șah. Pentru o rețea finită, marginile pot fi identificate astfel încât să se obțină un tor. În teorii de acest tip se construiește o transformare involutivă. De exemplu, Lars Onsager a sugerat că poate fi folosită pentru rețeaua triunghiulară.

În acest cadru, dualul torului discret este . Mai mult, dualul unui sistem foarte dezordonat (temperatură înaltă) este un sistem bine ordonat (temperatură joasă). În mod informal, aceasta reflectă faptul că dualitatea schimbă între ele regimurile de cuplare slabă și puternică. Prin urmare, se obține în esență aceeași teorie, dar la temperatura inversă.

Când temperatura crește într-una dintre teorii, ea scade în dualitate. Dacă există o singură tranziție de fază, aceasta trebuie să apară în punctul în care cele două descrieri coincid, adică acolo unde temperaturile se „întâlnesc”. Deoarece modelul Ising bidimensional trece dintr-o stare dezordonată într-una ordonată, există o corespondență aproape biunivocă între faza dezordonată și faza ordonată.

Teoria a fost generalizată și combinată ulterior cu multe alte idei. De exemplu, rețeaua pătrată este înlocuită, în diverse generalizări, de un cerc, o rețea aleatoare, un tor neomogen, o rețea triunghiulară, un labirint, rețele cu condiții la limită răsucite, , și multe altele.

Una dintre consecințele dualității Kramers–Wannier este o corespondență exactă în spectrul excitațiilor de o parte și de alta a punctului critic. Acest lucru a fost demonstrat recent prin în .

Derivare

Definim mai întâi variabilele. În modelul Ising bidimensional pe rețea pătrată se iau egale numărul de legături orizontale și verticale. Cuplajele și ale spinilor în cele două direcții sunt diferite, iar și , unde .

Dezvoltarea la temperatură joasă a funcției de partiție pentru spini, în cazul , obținută din dezvoltarea standard,

este , factorul 2 provenind din simetria de inversare globală a spinilor pentru fiecare . Aici, suma după reprezintă suma peste poligoane închise de pe rețea, care apar din corespondența grafică asociată sumei peste configurațiile de spini cu valori .

Folosind transformarea la variabilele ,

se obține

unde și . Aceasta furnizează o relație de corespondență între dezvoltarea la temperatură joasă și dezvoltarea la temperatură înaltă , relație descrisă drept dualitate, aici dualitatea Kramers–Wannier.

Cu ajutorul relațiilor

relațiile de mai sus, care definesc și , pot fi scrise într-o formă mai simetrică:

Dacă energia liberă pe nod în este , atunci dualitatea Kramers–Wannier dă

În cazul izotrop, când , dacă există un punct critic la , atunci există un altul la . Prin urmare, dacă punctul critic este unic, el trebuie să fie situat la , ceea ce implică , de unde rezultă . Rezultatul se poate scrie echivalent și sub forma

Dualitatea Kramers–Wannier în alte contexte

Dualitatea Kramers–Wannier apare și în alte contexte. Un exemplu important este teoria bidimensională a unui câmp scalar . În acest caz, o variabilă mai convenabilă decât este

Cu această expresie se poate construi mărimea autoduală

În contextul teoriei câmpurilor, mărimea este numită . Se definește apoi

Această funcție este funcția beta din teoria .

Presupunem acum că există o valoare pentru care , adică . Anularea funcției beta este, de regulă, asociată unei simetrii, dar numai dacă zeroul este unic. Ecuația are soluțiile . Dintre acestea, numai a doua soluție este reală și dă valoarea critică a lui Kramers și Wannier:

Note

Lectură suplimentară

Vezi și Modelul Ising

Categorie:Mecanică statistică