În mecanica statistică, modelul Ising bidimensional pe rețea pătrată este un simplu al unor spini magnetici aflați în interacțiune, fiind un exemplu al clasei de modele Ising. Modelul este remarcabil deoarece are interacțiuni netriviale, dar admite totuși o . Modelul a fost rezolvat de Lars Onsager în cazul particular în care câmpul magnetic extern . O soluție analitică pentru cazul general, cu , nu a fost încă găsită.

Definirea funcției de partiție

Considerăm un model Ising bidimensional pe o rețea pătrată , cu noduri și condiții la limită periodice atât pe direcția orizontală, cât și pe cea verticală, ceea ce face ca topologia modelului să fie aceea a unui tor. În general, cuplajul orizontal și cuplajul vertical nu sunt egale. Cu notația , unde este , iar este constanta Boltzmann, este

Temperatura critică

Temperatura critică poate fi obținută din relația de dualitate Kramers–Wannier. Notând cu energia liberă pe nod, se obține

unde

și

Dacă se presupune că în planul există o singură linie critică, atunci relația de dualitate implică

În cazul izotrop , se obține celebra relație pentru temperatura critică:

Rețeaua duală

Considerăm o configurație de spini pe rețeaua pătrată . Fie și numărul de vecini nealiniați pe direcțiile verticală, respectiv orizontală. Atunci termenul din corespunzător configurației este

Se construiește apoi o rețea duală , ca în diagramă. Fiecărei configurații i se asociază un poligon pe rețea, trasându-se o linie pe muchia rețelei duale atunci când spinurile separate de muchia corespunzătoare sunt diferite. Deoarece, la parcurgerea unui vârf al lui , spinurile trebuie să se schimbe de un număr par de ori pentru a reveni la configurația inițială, fiecare vârf al rețelei duale este incident cu un număr par de linii; astfel se definesc poligoane.

În consecință, se reduce la

unde suma se face peste toate poligoanele de pe rețeaua duală, iar și sunt numărul de segmente orizontale și verticale ale poligonului. Factorul 2 provine din simetria de inversare globală a spinilor.

Dezvoltarea la temperatură joasă

La temperaturi joase, și tind la infinit, astfel încât, când , avem . În aceste condiții,

definește dezvoltarea la temperatură joasă a lui .

Dezvoltarea la temperatură înaltă

Deoarece , avem

Prin urmare,

unde și . Deoarece există muchii orizontale și muchii verticale, dezvoltarea conține în total termeni. Fiecare termen corespunde unei configurații de linii pe rețea, obținută asociind o linie între și atunci când în produs este ales termenul sau .

Sumând peste configurații și folosind relația

se vede că numai configurațiile în care la fiecare vârf ajunge un număr par de linii, adică poligoanele, contribuie la funcția de partiție. Rezultă

unde suma se face peste toate poligoanele de pe rețea. Deoarece când , aceasta este dezvoltarea la temperatură înaltă a lui .

Cele două dezvoltări pot fi puse în relație prin dualitatea Kramers–Wannier.

Soluția exactă

Energia liberă pe nod în limita este dată după cum urmează. Definim parametrul

pe nod, , poate fi scrisă sub forma

În cazul izotrop , din expresia de mai sus se obține pentru energia internă pe nod:

iar este, pentru ,

și pentru .

Matricea de transfer

Se poate porni de la o analogie cu mecanica cuantică. Modelul Ising pe o rețea periodică lungă are funcția de partiție

Considerăm direcția drept „spațiu”, iar direcția drept „timp”. Atunci aceasta este o sumă independentă peste toate valorile pe care le pot lua spinurile la fiecare secțiune în timp. Este un tip de , adică o sumă peste toate configurațiile posibile ale spinilor.

O integrală de drum poate fi rescrisă ca o evoluție hamiltoniană. Hamiltonianul avansează în timp printr-o rotație unitară între momentul și momentul :

Produsul matricelor , luate succesiv, dă operatorul total de , adică integrala de drum de la care s-a pornit:

unde este numărul de secțiuni în timp. Suma peste toate drumurile este dată de un produs de matrici, fiecare element de matrice reprezentând amplitudinea de tranziție de la o secțiune la următoarea.

În mod analog, suma peste toate configurațiile care intră în funcția de partiție poate fi împărțită în secțiuni, fiecare secțiune fiind configurația unidimensională la un anumit timp. Aceasta definește matricea de transfer:

Configurația din fiecare secțiune este o configurație unidimensională de spini. La fiecare secțiune în timp, are elemente de matrice între două configurații de spini, una din viitorul imediat și una din trecutul imediat. Aceste configurații sunt și . Spațiul vectorial pe care acționează poate fi privit ca mulțimea tuturor combinațiilor liniare complexe ale acestor configurații. În notație de mecanică cuantică:

unde fiecare vector de bază este o configurație de spini a unui model Ising unidimensional.

Asemenea hamiltonianului, matricea de transfer acționează asupra tuturor combinațiilor liniare de stări. Funcția de partiție este o a lui , definită prin suma peste toate configurațiile care revin la configurația inițială după pași:

Deoarece aceasta este o ecuație matricială, ea poate fi evaluată în orice bază. Astfel, dacă matricea poate fi diagonalizată, se poate determina .

în funcție de matricile Pauli

Contribuția la funcția de partiție pentru fiecare pereche trecut/viitor de configurații pe o secțiune este suma a doi termeni: numărul de inversări de spin în secțiunea trecută și numărul de inversări de spin între secțiunea trecută și cea viitoare. Se definește un operator pe configurații care inversează spinul în nodul :

În baza Ising obișnuită, acest operator, aplicat oricărei combinații liniare de configurații trecute, produce aceeași combinație liniară, dar cu spinul din poziția inversat în fiecare vector de bază.

Se definește un al doilea operator, care înmulțește vectorul de bază cu sau în funcție de spinul din poziția :

Matricea poate fi scrisă în termenii acestor operatori:

unde și sunt constante ce trebuie determinate astfel încât să reproducă funcția de partiție. Interpretarea este că o configurație statistică din această secțiune contribuie atât prin numărul de inversări de spin din secțiune, cât și prin faptul că spinul din poziția s-a inversat sau nu.

Operatorii de creare și anihilare ai inversărilor de spin

Ca și în cazul unidimensional, atenția poate fi mutată de la spini la inversările de spin. Termenul din numără numărul de inversări de spin, ceea ce se poate scrie cu ajutorul :

Primul termen inversează un spin, astfel încât, în funcție de starea de bază, el: mută o inversare de spin cu o unitate spre dreapta; mută o inversare de spin cu o unitate spre stânga; produce două inversări de spin pe noduri vecine; anihilează două inversări de spin pe noduri vecine.

Scris în termenii operatorilor de creare și anihilare:

Neglijând coeficienții constanți și concentrându-ne asupra formei, observăm că toți termenii sunt de gradul al doilea. Cum coeficienții sunt constanți, rezultă că matricea poate fi diagonalizată prin transformate Fourier.

Efectuarea diagonalizării conduce la expresia lui Onsager pentru energia liberă.

Note

Bibliografie

Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts,

John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, .

Categorie:Mecanică statistică