Em matemática, a transformada de Hilbert é uma transformada integral que mapeia uma função f(x) em uma outra, û(x) (portanto, no mesmo domínioEm aplicações de física e engenharia, o termo domínio nessa frase refere-se em geral ao domínio do tempo ou ao domínio da frequência. Em aplicações de matemática, o termo refere-se a algum espaço vetorial, como o conjunto dos números reais, por exemplo.O mapeamento de um domínio para si mesmo recebe o nome de endomorfismo.).Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, pp. 359-367, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1Kschischang, F. R. - The Hilbert Transform, disponível em http://www.comm.utoronto.ca/frank/papers/hilbert.pdf, acessado em 06/09/2012
Ela recebeu esse nome em homenagem ao matemático alemão David Hilbert, que, em 1905, estudou uma transformação similar com vistas a estudar o Problema de Riemann-Hilbert sobre o círculo. Não foi, portanto, o próprio Hilbert que definiu essa transformada, e sim o matemático britânico Godfrey Harold Hardy, em 1925 (ver abaixo. Pesquisas posteriores fixaram a forma da transformação como hoje é usada, mostraram sua utilidade em campos diferentes de aplicação, como a análise harmónica, o processamento digital de sinais,B. Zhechev - Hilbert Transform Relations, disponível em http://www.cit.iit.bas.bg/CIT_05/v5-2/3-13.pdf, acessado em 19/09/2012 a óptica, a sismologia, a física quântica, a fisiologiaLiu Y. - Hilbert Transform and Applications in Salih S. (ed.) - Fourier Transform Applications, ISBN 978-953-51-0518-3, disponível em http://www.intechopen.com/books/fourier-transform-applications/hilbert-transform-and-application , acessado em 22/11/2013 e a acústica, e introduziram variações, como a Transformada Discreta de Hilbert, a Transformada de Hilbert Bilinear e a Transformada de Hilbert Trilinear.
A utilidade da transformada de Hilbert advém do fato de a função g(x) = f(x) + i·û(x) (onde i é unidade imaginária) ser sempre uma função analítica (também chamada de função regular e função holomorfa) na metade superior do plano complexo, ou seja, uma função que é infinitamente diferenciável nesse domínio. Em outras palavras, em toda função analítica, a parte imaginária é a transformada de Hilbert da parte real.Diz-se, neste caso, que as funções f(x) e g(x) estão em quadratura. Assim, a transformação de Hilbert é uma maneira prática de se obter a conjugada de uma função real qualquer f(x). Daí decorrem diversas aplicações práticas: Para obter-se uma representação analítica de uma função. Em diversas aplicações, é mais fácil trabalhar com a função complexa g(x), por ser analítica, do que com a função real f(x). Como uma maneira de generalizar o conceito de fasor em aplicações onde se lida com sinais de frequências variáveis no tempo. Neste caso, diferentemente da transformada de Fourier e outras relacionadas, representa-se o sinal não como uma soma dos seus componentes senoidais, e sim como um produto de duas funções, uma de alta e outra de baixa frequência.Johansson, M. - The Hilbert Transform, disponível em http://w3.msi.vxu.se/exarb/mj_ex.pdf , acessado em 12/09/2012 Como uma ferramenta para demodular um sinal, obtendo o seu envelope (ou envoltória).N. Thrane - The Hilbert Transform, Brüel & Kjær Technical Review no° 3, 1984, pp. 3 a 15
Este verbete trata principalmente da transformada "contínua" de Hilbert, isto é, a transformada de funções definidas em um espaço euclideano. A transformação pode ser aplicada também em espaços discretos (ver transformada discreta de Hilbert, mais abaixo) e espaços contínuos não-euclideanos, como um toroide (ver extensões em outros espaços, mais abaixo).
Definição
A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:
Convenções
Como também acontece com outras transformadas, o sinal da integral na definição é matéria de convenção e pode ser invertido sem mudança nas propriedades essenciais da Transformada de Hilbert. Tal inversão se encontra frequentemente na literatura.
Também é frequente expressar a variável independente na transformada como y, em lugar de x, para deixar mais clara a relação entre as funções û(y) e f(x). Tal convenção não foi usada aqui.
Neste verbete, como se verifica em toda a literatura, x é sempre uma variável real. Portanto, f(x) e û(x) são sempre funções reais. s e z denotam variáveis complexas. k (minúscula), l, m e n são constantes reais inteiras. a e b são constantes complexas. K (maiúscula), p e q são constantes reais. t e ω são variáveis reais, denotando sempre as grandezas físicas tempo e frequência angular. Evitou-se referenciar a grandeza física frequência linear, de forma a evitarem-se ambiguidades; quando necessário, usa-se a expressão .
Cálculo e condições de existência
O cálculo da integral contida na definição apresenta dificuldades, não só porque se trata de uma integral imprópria com limites infinitos, mas principalmente porque o integrando assume valores infinitos dentro do intervalo de integração (o que se chama uma singularidade). Para contornar essas dificuldades, divide-se a integral em duas partes de modo a obter-se a formulação alternativa
efetivamente excluindo-se do cálculo um intervalo simétrico de comprimento 2ε em torno da singularidade. Essa forma é chamada de valor principal de Cauchy da integral, por isso é comum, em textos mais formais, encontrar a definição da Transformada de Hilbert escrita assim:
As expressões (2) e (3) são rigorosamente equivalentes. Neste verbete, usamos (1a), por brevidade.
Substituindo-se variáveis (v = x + u, w = x - u), obtêm-se outras formulações alternativas:
Para que a integral em (2) convirja, a função f(x) precisa atender a certas condições. Titchmarsh demonstrou que as funções no Espaço Lp com 1 < p < ∞ possuem transformadas de Hilbert, bem como algumas no L1.Wolfram MathWorld - Titchmarsh Theorem, http://mathworld.wolfram.com/TitchmarshTheorem.html
Sabe-se também que a chamada condição de Paley-Wiener é necessária e suficiente para que a transformada exista.
A maioria das funçõesEmbora neste verbete se use o termo geral função, tenha-se em mente que, em muitos casos, trata-se de distribuições, ou seja, de funções generalizadas. Um exemplo de distribuição é a conhecidíssima δ(x), a "função" impulso unitário ou delta de Dirac. de interesse em engenharia incluem-se nessa categoria. A tabela abaixo lista algumas dessas funções e suas respectivas transformadas.
Tabela de transformadas de Hilbert
Para detalhes, ver também derivação de algumas transformadas de Hilbert.
+ Transformadas de Hilbert de algumas funções f(x)Wolfram MathWorld - Hilbert Transform, http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.htmlem que: é o núcleo da Transformada de Hartley é a função impulso unitário é a função retangular é a função seno cardinal é a função triangular é a função erro imaginário
Transformada inversa
A transformada de Hilbert tem a propriedade conveniente de ser o negativo de sua própria inversa (o que se chama uma anti-involução):Thrane (1984) menciona que essa transformada também é conhecida como Transformada de "Berthil" (ing. "Berthil" Transform), mas isso não é confirmado por nenhuma outra fonte consultada.
Isso é uma consequência do fato de a aplicação da transformação duas vezes sucessivas resultar no negativo da função original
Uma consequência interessante é que a aplicação da transformação três vezes sucessivas resulta na transformada inversa
e assim por diante. Essas propriedades ficam mais claras se expressas através de operadores:
Convolução
Por inspeção direta da expressão (1a), percebe-se que a função û(x) é a convolução da função f(x) com a função . Essa função é chamada núcleo de Hilbert, e será denotada neste verbete como h(x). Assim, uma outra expressão para a definição da Transformada de Hilbert é a seguinte:
Formas alternativas da transformada de Hilbert
A transformada de Hilbert, definida pela equação (1a), pode ser expressa de forma alternativa com a introdução das variáveis auxiliares η e ζ tais que
obtendo-se as expressões
e
Quando definida por meio das equações (1c) ou (1d), a transformada de Hilbert possui todas as propriedades da transformação definida pela equação (1a), inclusive a anti-simetria da transformada inversa, e ainda a propriedade adicional de ser uma função periódica em ζ.S. Hahn - The Hilbert Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 7, pp. 563 a 737
Propriedades elementares
Linearidade
Da expressão (1a), segue-se imediatamente que a transformada de Hilbert é um operador linear. Assim, podemos escrever
Dilatação e deslocamento do eixo
Da expressão (1a), segue-se imediatamente que
onde sgn(a) é a chamada função sinal de a, e
Convolução
Da expressão (1a), também se segue que
e que
Comutatividade com relação à diferenciação
Da expressão (5), aplicando-se a fórmula de Leibniz para a derivação de uma integral, segue-se que
Invariância
O operador apresenta propriedades de invariância quando combinado com outros operadores; por exemplo, o operador da transformação de Fourier, :
Essa propriedade deriva do fato de a transformada de Hilbert da função impulso unitário ser igual ao núcleo de Hilbert h(x).
Relação com as equações de Cauchy-Riemann
O fato de uma função e sua transformada estarem relacionadas de forma tal que a função complexa é analítica no semi-plano superior complexo implica que as equações de Cauchy-Riemann são obedecidas, ou seja, pode-se escrever:
Em consequência, se derivarmos novamente as equações acima, obteremos
assim,
De forma similar, podemos obter também
Como a função u(z) é real, temos obrigatoriamente
As equações (6c) e (6d) são exemplos da conhecida Equação de Laplace. Assim, a tarefa de encontrar o par de funções e equivale a resolver um sistema de equações de Laplace com as condições de contorno dadas pelas equações (6e) e (6f).
Interpretações físicas
Interpretação no domínio do tempo
Se, na expressão (6a), a variável independente for o tempo, a interpretação imediata é que a função û(t) é a resposta de um dispositivo a um sinal de entrada descrito por f(t). A função h(t) seria, nesse caso, a resposta desse dispositivo a um impulso unitário na sua entrada; tal resposta caracterizaria o dispositivo como um filtro linear invariante no tempo. Esse dispositivo é chamado filtro de Hilbert ou transformador de Hilbert (Hilbert transformer).
Interpretação no domínio da frequência
Se denotarmos a transformada de FourierVárias convenções coexistem na literatura para definição da Transformada de Fourier. No entanto, na literatura que trata da Transformada de Hilbert parece existir uma unanimidade em usar a forma conhecida como angular assimétrica, que é a mesma empregada no verbete da Wikipédia em português. Em todo este verbete assume-se que está sendo usada tal forma. de uma função f(x) por , a sua aplicação ao núcleo de Hilbert h(x) dará
Podemos calcular, a partir das expressões (6a) e (7), a transformada de Fourier de uma função û(x) qualquer, que denotaremos por
Podemos interpretar (8a) no domínio da frequência, da seguinte maneira: a aplicação da transformada de Hilbert a uma função f(t) faz com que suas componentes harmônicas negativas sejam multiplicadas por -i, o que equivale a um deslocamento de na sua fase, que suas componentes harmônicas positivas sejam multiplicadas por i, o que equivale a um deslocamento de fase de , e que a componente contínua (ω=0) seja eliminada. A partir dessa propriedade, vê-se claramente por que a aplicação dessa filtragem duas vezes sucessivas resulta exatamente na inversão do sinal original: todas as componentes são multiplicadas por i2 = -1.