200px|direita|thumb|Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica. Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição

Um anel é um conjunto munido de duas operações binárias + (adição) e ⋅ (multiplicação) satisfazendo os três conjuntos de axiomas seguintes: é um grupo abeliano sob a adição, o que significa que: para todo em (isto é, é associativa). para todo em (isto é, é comutativa). Há um elemento em tal que para todo em (isto é, é uma identidade aditiva). Para todo em , existe em tal que (isto é, é o inverso aditivo de ). é um monoide sob a multiplicação, o que significa que: para todo em (isto é, é associativa). Há um elemento em tal que e para todo em (isto é, é uma identidade multiplicativa). A multiplicação é distributiva em relação à adição, o que significa que: para todo em (distributiva pela esquerda). para todo em (distributiva pela direita).

Na notação, o símbolo de multiplicação é frequentemente omitido, de modo que é escrito como .

Variações na terminologia

Na terminologia deste artigo, um anel é definido como tendo um elemento neutro multiplicativo, enquanto uma estrutura com a mesma definição axiomática, mas sem a exigência de um elemento neutro multiplicativo, é chamada de "anel sem unidade". Por exemplo, o conjunto dos números inteiros pares com as operações usuais + e ⋅ é um anel sem unidade, mas não um anel propriamente dito.

Embora a adição em anéis seja comutativa, a multiplicação em anéis não precisa ser comutativa: não precisa necessariamente ser igual a . Anéis que também satisfazem a comutatividade para multiplicação (como o anel dos inteiros) são chamados de anéis comutativos. Livros sobre álgebra comutativa ou geometria algébrica frequentemente adotam a convenção de que anel significa anel comutativo, para simplificar a terminologia.

Em um anel, a existência de inversos multiplicativos não é obrigatória. Um anel não trivial no qual todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo é chamado de corpo não comutativo, e se ele for comutativo, ele é chamado de corpo.

O grupo aditivo de um anel é o conjunto subjacente equipado apenas com a operação de adição. Embora a definição exija que o grupo aditivo seja abeliano, isso pode ser inferido dos outros axiomas de anel. A demonstração utiliza o "" e não funciona em um anel sem unidade. (Para um anel sem unidade, omitir o axioma da comutatividade da adição o torna inferível das hipóteses restantes do anel sem unidade apenas para elementos que são produtos: .)

Alguns autores usam o termo "anel" para se referir a estruturas nas quais não há exigência de que a multiplicação seja associativa. Para esses autores, toda álgebra é um "anel".

Ilustração

O exemplo mais familiar de um anel é o conjunto de todos os inteiros , consistindo dos números

Os axiomas de anel são modelados com base em propriedades familiares da adição e multiplicação de números inteiros.

Algumas propriedades

Algumas propriedades básicas de um anel decorrem imediatamente dos axiomas: O elemento neutro da adição é único. O inverso aditivo de cada elemento é único. O elemento neutro da multiplicação é único. Para qualquer elemento em um anel , temos (zero é um elemento absorvente em relação à multiplicação) e . Se em um anel (ou, mais geralmente, é um elemento unitário), então tem apenas um elemento e é chamado de anel trivial. Se um anel contém o anel zero como um subanel, então em si é o anel zero. A fórmula binomial vale para quaisquer e que satisfazem .

Exemplo: Inteiros módulo 4

Equipe o conjunto com as seguintes operações:

A soma em é o resto de quando o inteiro é dividido por (como sempre será menor que , o resto será ou ou ). Por exemplo, e . O produto em é o resto de quando o inteiro é dividido por . Por exemplo, e .

Exemplo: Matrizes 2 por 2

O conjunto de matrizes quadradas 2 por 2 com entradas no corpo é [5.ª impressão corrigida]

Com as operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes, satisfaz os axiomas acima. O elemento é a identidade multiplicativa do anel. Se e , então enquanto ; esse exemplo demostra que o anel é não comutativo.

De forma mais geral, para qualquer anel , comutativo ou não, e qualquer inteiro não negativo , as matrizes quadradas com entradas em formam um anel.

Conceitos básicos Produtos e potências

Para cada inteiro não negativo , dada a sequência de elementos de , o produto pode ser definido recursivamento: seja e seja para .

Como um caso especial, podemos definir potências inteiras não negativas de um elemento de um anel: e para . Então para todo .

Elementos num anel

Um divisor de zero à esquerda de um anel é um elemento no anel tal que existe um elemento não nulo de tal que . Um divisor de zero à direita é definido de maneira semelhante.

Um elemento nilpotente é um elemento tal que para algum . Um exemplo de elemento nilpotente é uma matriz nilpotente. Um elemento nilpotente em um anel não trivial é necessariamente um divisor de zero.

Um elemento idempotente é um elemento tal que . Um exemplo de elemento idempotente é uma projeção em álgebra linear.

Uma unidade é um elemento que possui um inverso multiplicativo; neste caso, o inverso é único e é denotado por . O conjunto de unidades de um anel é um grupo sob multiplicação de anéis; este grupo é denotado por ou ou . Por exemplo, se é o anel de todas as matrizes quadradas de tamanho sobre um corpo, então consiste no conjunto de todas as matrizes invertíveis de tamanho , e é chamado de grupo linear geral.

Ideais

Sejam um anel e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um ideal à esquerda de se

Diz-se que é um ideal à direita de se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

Diz-se que é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos: Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se  ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma. Seja o conjunto das funções de R² em R² da forma

onde  ∈ R. Então, se for a função nula, se for a adição de funções e se for a composição, então é um anel (não comutativo). Se

então é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se for um anel e for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em a relação de equivalência ∼ assim definida:  ∼  se e só se  ∈  Se  ∈  seja a sua classe de equivalência; seja o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

é novamente um grupo abeliano. Além disso, se for um ideal à esquerda e se  ∈  então faz sentido definir a função

Analogamente, se for um ideal à direita e se  ∈  então faz sentido definir a função

Caso seja um ideal bilateral, volta a ser um anel se se definir

Ver também Teoria dos anéis Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas. Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

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