En matematicas, una equacion del segond gra, o equacion quadratica, es una equacion polinomiala de gra 2, es e dire que pòt s'escriure sota la forma:ont x es l'inconeguda e las letras a, b e c representon los coeficients, amb a diferent de 0.
Dins l'ensemble dels nombres reals, una tala equacion admet al maxi doas solucions, que correspondon a las abscissis dels eventuals punts d'interseccion de la parabòla d'equacion amb l'axe de las abscissis dins lo plan dotat d'una marca afina. La posicion d'aquesta parabòla al respècte de l'axe de las abscissis, e donc lo nombre de solucions (0, 1 o 2) es donada pel signe del discriminant. Aqueste darrièr permet tanben d'exprimir aisidament las solucions, que son tanben las raiças de la foncion del segond gra associada.
Sul còrs dels nombres complèxes, una equacion del segon gra a sepmre exactament doas raiças destriadas o una raíç dobla. Dins l'algèbra dels quaternions, una equacion del segond gra pòt aver una infinitat de solucions.
Istorica Las equacions del segond gra son al centre de l'algèbra babiloniana, a depuèi lo sègle XVIII AbC.. La tauleta d'argila BM 13901 foguèt qualificada « verai pichon manual d'algèbra, consacrat a l'equacion del segond gra e als sistèmas d'equacions, e donant las proceduras resolutòrias fondamentalas »..
Al sègle VIII, lo matematician indian Sridhar Acharya indica lo biais de calcular las doas raiças realas.
Las equacions del segond gra foguèron estudiadas sistematicament per Al-Khwarizmi al sègle IX, dins un obratge titulat Abreujat del calcul per la restauracion e la comparason que, mejans lo mot « restauracion » (en arabi: al-jabr) donèt son nom a l'algèbra. Al-Khawarizmi destria sièis cas d'equacions del primièr o segond gra ont los paramètres , e son totes positius:
las carrats egalan las raiças: las carrats egalan los nombres : las raiças egalan los nombres: los carrats e las raiças egalan los nombres : los carrats e los nombres egalan las raiças: las raiças e los nombres egalan los carrart:
Mòstra los metòdes de resolucion seguent los rasonaments d'algèbra geomrtrica.
Elements clau
Introduccion per l'exemple se cerca las eventualas solucions de l'equacion venentaCet exemple est présenté dans : le nombre d'or avec GéoPlan par P. Debart de l'Académie d'Aix Marseille.:Lo membre d'esquèrra es nomenat trinòmi del segond graV. & F. Bayart Étude du trinôme du second degré par le site bibmath.net.. Es compausat de trrs tèrmes, totes de la mèsma forma: un nombre non nul que multiplica una poténcia entièra de x. Cada tèrme es nomenat monòmi e, n'i a tres, se parla de trinòmi. La mai granda poténcia d'aquestes monòmis es dos; per aquesta rason, se parla de segond gra. L'expression 0x + x + 1 es pas un trinòmi: x + 1, es un binòmi del primièr graL'equacion que definís es pas l'objècre d'aqueste article, mas d'aqueste titulat Equacion del primièr gra.. Lo metòde consistís a forçar l'aparicion d'una primièra identitat remarcabla. S'escrich lo polinòmi del biais seguent:Los tres primièrs tèrmes son aquestes d'una soma remarcabla. L'aplicacion d'una identitat remarcabla permet d'escriure lo polinòmi del biais seguent:Se pòt alara aplicar a aquesta diferéncia de carrats una segonda identitat remarcabla:L'equacion iniciala s'exprimís alara jos forma d'un produch de dos factors:Un produch de dos factors es nul se, e solament se, un dels factors es nul. Aquesta remarca permet de trobar las doas solucions x1 e x2 :Aquesta equacion admet pas qu'una unica raiç positiva x1, aquesta valor es nomenada nombre d'aur. Es tanben possible de resòlvre una equacion du segond gra sens la mendre coneissença d'algèbra, lo paragraf metòde grometric mòstra cossí far.
Discriminant Se considèra l'equacion seguenta, ont a, b e c designan de nombres reals e a es diferent de 0:Se pausa la definicion seguentaOn trouve cette définition dans le site : Discriminant par Euler, un site de l'Académie de Versailles.:
Definicion del discriminant — Lo discriminant de l'equacion es la valor Δ definida per : Aquò es a vegada tanben nomenat realizant notat .
Aquesta definicion es la font del teorèma associat a la resolucion de l'equacion del segond gra, dins lo cas ont se cerca de solucions realasÉquation du second degré dans R par Euler, un site de l'Académie de Versailles.:
Resolucion de l'equacion — Se lo discriminant es estrictament positiu, l'equacion admet doas solucions x1 e x2 donadas per las formulas seguentas :
Se lo discriminant es nul, l'equacion admet una raiça dobla:
Se lo discriminant es estrictament negatiu, l'equacion admet pas de solucion reala, mas admet doas solucions complèxas.
Interpretacion grafica vinheta|Lo signe del discriminant balha una informacion sul grafe de la foncion f. Un biais d'estudiar l'equacion del paragrafe precedent es de considerar la foncion f de la variabla reala e a valors realas definida per:L'equacion pòt encara s'escriure f(x) = 0. Las solucions de l'equacion son las abscissis dels punts d'interseccion del grafe de la foncion f e de l'axe dels x. Lo grafe de la foncion f es nomenat una parabòla, possedís una forma analòga a aquesta dels tres exemples presentats a drecha. Se a es positiu, las brancas de la parabòla son dirigidas cap al naut, coma pels exemples jaunes o blaus, senon las brancas son dirigidas cap al bas, coma l'exemple roge.
Se le discriminant es estrictament positiu, coma per l'exemple blau, aquò significa que lo graf de f crosa l'axe de las abscissis en dos punts. Se lo discriminant es nul, la configuracion es aquesta de la parabòla roja, lo graf se situa o dins lo semiplan de las ordonadas positivas o dins lo semiplan de las ordonadas negativas e son unic extremum es sur l'axe de las abscissis. Dins lo cas d'un discriminant estrictament negatiu, coma per la paraòla jauna, lo grafe se situa encara dins un del dos semiplans precedents, mas aqueste còp l'extremum encontra pas l'axe de las abscissis.
Atal, se lo discriminant es estrictament positiu, lo signe de las valors que pren la foncion f entre las solucions es l'opausat del signe de las valors presas per f a l'exterior del segment d'extremitats las solucions de l'equacionCe paragraphe est explicité dans le site : Signe d'une fonction trinôme du second degré par Euler, un site de l'Académie de Versailles..
Resolucion dins l'ensemble dels reals
Forma canonica En vista de resòlvre l'equacion f(x) = 0, ont f es la foncion del paragraf precedent, un metòde consistís a l'escriure jos una forma mai adaptada. Coma la valor a es pas nula, es ja possible de la factorizar :La metòde utilizada per la resolucion del primièr exemple s'aplica encara. Ne ven a « forçar » l'aparicion d’una identitat remarcabla de la forma
en apondant e en levant B2 :Aquesta forma es a l'origina d'una proprietat e d'una definicionC. Rossignol, Polynômes du second degré sur le site de l'académie de Grenoble, 2008, p. 2.:Definicion de la forma canonica — L'equacion del segond gra pòt s'escriure jos la forma seguenta, dicha canonica, Δ designant :
De notar que representa l'extremum (maxim o minim) de la foncion , e qu"aqueste extremum s"atenh per : - Se la foncion es descreissenta puèi creissenta (foncion en U) e es donc lo minim de la foncion. - Se la fonccion es creissanta puèi descreissenta (foncion en campana) e es donc lo maxim de la foncion.
Dins los dos cas, las coordonadas de l'extremum son donc
Exemples Consideram l'equation seguentaAqueste exemple s'inspira del site ja sitat: C. Rossignol, Polynômes du second degré, p. 2. :Dos metòdes permeton de trobar l'expression de la forma canonica. Peimièr, f es definida per una identitat remarcable; se'n deduch:Es tanben possible d'utilizar las formulas de la definicion, i a aquí a = 1, b = –4 e c = 4. Se'n deduch que lo discriminant Δ es nul e que lo coeficient α es egal a 2, çò que dona encara lo resultat precedent.
Consideram ara lo novèl exemple :Se l'egalitat definissent g(x) es pas pus una identitat remarcabla, lo segond metòde es sempre eficaç. Avèm a = 2, b = –6 e c = 1. Çò que permet de realizar los calculs suivants :Se'n deduch la forma canonica:Lo graf de la foncion es donc en forma de U e admet un minim al punt
Resolucion de l'equacion f(x) = 0 La resolucion de l'equacion utiliza la forma canonica:
Discriminant estrictament negatiu Se lo discriminant es estrictament negatiu, la valor β/a = -Δ/(4a) es estrictament positiva. La foncion f s'exprimís coma lo produch de a (non nul) e de la soma d'un tèrme positiu (x - α) e d'un tèrme estrictament positiu β/a (soma qu'es donc estrictament positiva, donc non nula) : f(x) = a × [(x - α) + β/a]. Se'n deduch que, quina que siá la valor de x, son imatge per f es pas jamai nula, que produch de dos factors non nuls, çò que mòstra l'abséncia de solucion dins l'ensemble dels reals (R).
Se pòt tamben trobar doas solucions se plaçant dins l'ensemble dels nombres complèxes.
Discriminant nul Se le discriminant es nul, lo tèrme β tanben l'es e f(x) = a.(x - α). Aquesta expression es nula se, e seulament se x es egal a α. Un còp encara, se torna trobar lo resultat exprimit dins lo segon paragraf.
Discriminant estrictament positiu Se lo discriminant es estrictament positiu, en simplificant per a, l'equacion s'escriu encara, se δ designa la raiç carrada del discriminant :Se reconeis una identitat remarcabla e l'equacion s'escriu encara:Un produch de dos nombres reals es nul se, e solament se, un dels dos factors del produch es nul, se'n deduch que l'equacion es equivalenta a una de las doas equacions:En remplaçant α e δ per lor valor, se trapa plan l'expressionja indicada de las doas solucions.
Proprietats
Forma reducha Una equacion del segond gra apareis pas sempre jos la forma estudiada fins ara. Consideram l'exemple:Un analisi tròp rapid poiriá daissar pensar que los metòdes presentadas aquí son pas adaptadas per una tala equacion. Per lo verificar, lo mai simple es de desvelopar lo tèrme d'esquèrra. S'obten, mejans doas identitats remarcablas:L'equacion ven alara:Simplificant encara per 9, l'equacion s'escriu: x + x + 1 = 0. Lo discriminant essent agal a –3, l'equacion admet pas de raiç reala. Per poder aplicar las tecnicas desvelopadas aquí, es util d'exprimir l'equacion jos la forma estudiada fins ara. Aquesta forma pòrte un nom. la forma reducha — La forma reducha d'una equacion del segond gra reala, es la seguenta, se a, b e c son tres nombres reals tal que a siá diferent de 0 : ax^{2}+bx+c=0.
Existís tres formas importantas per exprimir una equacion del segond gra, la forma reducha, la forma canonica e, eventualament la forma factorizada, que s'escriu del biais seguent:Jos la forma factorizada, las solucions son dirèctament disponibles. Son tanben egalas a x1 e x2.
Relacions entre coeficient e racinas Se las solucions, encara nomenada raiças, existissent, quina que sián distinctas o doblasSi une unique racine existe et vaut α on dit néanmoins qu'il existe deux racines x1 = x2 = α. Se parla alara de raiç dobla. Aquesta convencion possedís diferents interesses, entre autres aquete d'estalivar un cas particular, per exemple dins lo contèxte d'aquete paragraf., i a dos biais diferents de notar lo polinòmi, la forma factorizada e aquesta reducha. Amb las notacions de l'article, s'obten se x1 e x2 son los dos raiças:Un desvelopament de la forma de drecha permet d'obtenir una novèla expression de la forma reducha:En identificant los coeficients, se'n deduch de relacions entre los coeficients de l'equacion e sas solucions:Relacions entre coeficients e raiças — Avèm doas relacions seguentas:
Las egalitats d'aquesta natura se generalizan per las equacions definidas per un polinòmi de gra qui que siá. Tal est l'obècte de l'article detalhat.
Discriminant reduch