En matematicas, un entièr natural es un nombre permetent fondamentalament de denombrar una quantitat d'objèctes comptant cadun per un e donc de comptar d'objèctes considerats coma equivalents : un geton, dos getons… una carta, dos cartas, tres cartas…Èra peraquís la definicion donada per Euclides "comptar una colleccion o quantitat d'unitats entièras" .
D'aquela definicion, seguís :
- un tal nombre entièr pòt s'escriure amb una seguida finida de chifras en notacion decimana posicionala (sens signe e sens virgula).
- cada nombre entièr a un successor unic, es a dire un entièr que li es imediatament superior. La lista dels entièrs naturals es infinidaGeorg Cantor est le premier mathématicien à avoir étudié les différents infinis, il s'est appuyé sur l'ensemble ordonné des entiers naturels pour définir une première base d'infini et ensuite mieux découvrir les autres ensembles infinis..
- la situacion del nombre zèro foguèt discutada a la fin del sègle XIX (Pas cap d'entièr natural a 0 per successor e es pas un nombre positiu : es un entièr natural ? ),
- los entièrs naturals s'identifican als entièrs relatius positius o nuls, tanben als nombres racionals positius o nuls podent s'escriure jos la forma d'una fraccion de denominator 1, e d'un biais mai general als nombres reals positius o nuls de partida fraccionària nula.
L'estudi dels entièrs naturals e de lors relacions, amb las operacions d'addicion e de multiplicacion per exemple, constituís dempuèi l'Antiquitat grèga una branca de las matematicas nomenada « aritmetica ».
Al sègle 19, i aviá fòrça discussions sobre l'existéncia filosofica d'aquels nombres (son "naturals" o creats ?) amai la cèrca d'una construccion rigorosa de l'aritmetica e la ligason amb la teoria dels ensembles. En 1889, Peano faguèt una sintèsi praticament definitiva del trabalh de fòrça matematicians de l'epoca (Richard Dedekind, Grassmann, Frege,..) publicant sos axiomas de l'estructura dels entièrs naturals. Inclutz lo nombre zèro coma natural e la lista dels entièrs naturals es donc :
0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
(La definicion de Richard DedekindRichard Dedekind. Was sind und sollen die Zahlen? (1888) 2ème éd. Friedrich Vieweg et Fils 1893. Lire en ligne., de l'ensemble dels entièrs naturals exclutz lo nombre zèro Sous l'entrée "nombre", le Lexis (1975) définit un "nombre naturel" comme "chacun des entiers de la suite 1,2,3, etc", et le Petit Robert (1977) donne "À l'origine, et dans le cas le plus simple des nombres naturels (1,2,3,4…)[…]" ; l'Académie française dans la neuvième édition de son dictionnaire, sous l'entrée "entier" définit un "nombre entier naturel" comme un "nombre entier positif", et sous l'entrée "positif" précise qu'un "nombre positif" est "supérieur à zéro".; . Aquestas doas definicions coexistisson uèi encara..)
Ernst Zermelo, quand axiomatizèt la teoria dels ensembles, montrèt que los entièrs naturals podavan èsser definits en tèrmes ensemblistas (s'utiliza uèi mai sovent un metòde degut a von Neumann).
L'ensemble dels entièrs naturals, que contenga o non lo nombre zèro, es notat « N » o « ℕ ». La notacion es deguda a Dedekind en 1888, que l'utiliza per l'ensemble dels entièrs naturals non nuls. Uèi aqueste darrièr ensemble es tanben sovent notat « N* » (o « ℕ* »).
vinheta|Los entièrs naturals permeton de comptar (una poma, doas pomas, tres pomas…).
Concepcion
De l'enumeracion cap a l'abstraccion La nocion d'entièr natural, ocupant d'en primièr (e fins al sègle XVIIChristian Houzel, « Qu'est-ce qu'un nombre ? », Histoire des nombres, Tallandier 2007.) tota l'idèaDes nombres non entiers sont manipulés dès le millénaire avant notre ère dans la civilisation mésopotamienne, mais ils n'ont pas le statut théorique de nombre. de nombre, es belèu eissit de la nocion de colleccion: lo nombre entièr es d'enprimièr concebut coma un cardenal. Unes objèctes o animals, tot essent distinctes los uns dels autres, pòdon admetre une designacion comuna, del fach de lor semblança o d'una autra caracteristica partejada. Lor amassada constituís una colleccion, tal coma un tropèl de vacas, un collar de pèrlas, un molon de pèiras.
Lo nombre es en grelh dins l'enumeracion d'una colleccion, es a dire lo fach de far desfilar totes sos elements, un a un e sens repaticion. Pren consisténcia dons lo constat que doas enumeracions esimultanèas (d'un tropèl cap un enclaus e de pèiras dins un sac, par exemple) se terminan o sempre en mèsme temps, o sempre en escart. Lo nombre es fin finala presentat quand lo sac de pèiras o lo baston d'òsca es utilizat per indicar una quantitat.
Pasmens, lo concèpte d'entièr nàis veraiament sonque quand es destriat de son representant, es a dire quand represent pas pus de pèiras, o d'òscas, o vacas: i a aquí una primièra abstraccion ont cada objècte es considerada coma una unitar pura e sens qualitat. Aqueste procediment mental es conegut jol nom d'abstraccion: es fach abstraccion de la qualitat de l'objècte per s'interessar unicament a la quantitat. Una segonda abstraccion mèna alara a la consideracion d'aquestas unitats coma una colleccion d'unitatsLa construction philosophique du concept de nombre est exposée en détail dans De l'infini mathématique de Louis Couturat..
Euclides dona al Libre VII dels Elements la definicion seguenta: « L'unitat es çò relativament a que tot objècte es nomenat Un. » Aquesta abstraccion li permet de definir enseguida lo nombre (entièr natural) coma « colleccion d'unitatsCette définition peut rétrospectivement être appliquée au nombre zéro, une collection ne comprenant aucune unité. ». +Representacion dels primièrs entièrs naturals non nuls per de colleccions de punts.012345678910centrat|16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|**16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*
Definicion avortada dels entièrs en tèrmes de classa de bijectabilitat Frege pensèt (Fondements de l'arithmétique, 1884) a definir los entièrs en tèrmes de classa de bijectabilitat.
Aquesta idèa consistís a definir cada entièr n coma lamassada de totes los ensembles avent n elements.
Aquesta plan seduisenta definicion buta al paradòxe de Russell quand se vòl, en vista d'un monisme ontologic, qu'una tala amassada siá, tanben, un ensemble.
Aquò que, levat per l'entièr 0, identificat a l'ensemble void, per tot autre entièr n le'massada dels ensembles avent n elements es una quita classa e donc es pas un ensemble.
Construccion pels ordinals Los entièrs naturals pòdon èsser definits coma dels ordinals, es a dire, pel metòde de von Neumann, coma d'ensembles ben ordonat totes comparables per inclusion. Los entièrs naturals son los ordinals finits, aquestes que l'òrdre recipròc es tanben un bon òrdre, o encara los ordinals successors que totes los minorants son tanben d'ordinals successors.
Designacion
Enonciacion La designacion dels entièrs dins lo lengatge es pas la mèsma d'una lenga a l'autre, quitament se se fonda en general sus uns metòdes simples.
Los primièrs entièrs an un nom especific sens ligam los uns amb los autres. En occitan, s'agís dels entièrs de un a dètz (los noms dels entièrs d'''onze a quinze son de desformacions de noms compausats). De lengas an pas de mot especific al delà de dosGeorges Ifrah, introduction à Histoire universelle des chiffres, tome 1, édition Robert Laffont (1994), p. 9, § Les premiers tâtonnements..
L'accòlament de dos noms pòt designar lo resultat de l'addicion (coma dins detz e sièis) dels entièrs correspondants. D'autres procediments existisson utilizant la multiplicacion, la sostraccion, la division o la protraccion.
De « grands » nombres recebon tanben un nom especific, mai sovent unas poténcias d'una basa particulara. Lo sistèma decimal es mai espandit uèi. Des convencions internacionalas contradictròias prepausan de designacions estandardizadas per las cent primièras poténcias de mila o del milion.
Al delà de las limitas impausadas pel le vocabulari, la lenga ne pòt prepausar pas que de designacions per acòlament : « mila miliards de miliards… »
Escritura chifrada Se l'escritura dels entièrs varièt fòrça dins l'istòria de las civilizacions, es uèi gaireben pertot fondada sus un mèsme sistèma de notacion decimala posicionala, quitament se la grafia dels chifres pòt subir de variacions mai o mens importantas d'un país a l'autre.
Cada entièr natural se descompausa de biais unic en una soma de multiples de poténcia de detz, de biais que cada coeficient multiplicator siá estrictament inferior a detz, donc representat per l'un dels detz chifres arabis de 0 a 9. L'escritura d'aqueste nombre se fa alara en acolant aquestes chifres renjats per òrdre desressent de las poténcias de detz correspondentas.
L'interés màger d'aquesta escritura es la simplicitat conjunta dels algoritmes de calcul pels quatre operacions aritmeticas elementàrias.
Codatge La practica del calcul podèt se pièjar sus la manipulacion de pèirasLe mot « calcul » est apparenté au mot « caillou ». o d'autres simbòls concrèts, d'en primièr per simbolizar una unitat per pèira, puèi en diferenciant la valor dels simbòls (una cauquilha marcant per exemple detz pèira).
La notacion posicionala permetèt de diferenciar las valors dels simbols segon lor posicion e non pas pus lor natura, çò que se traduguèt pel desvolopament de l'abac. Aqueste pricipi es encara en vigor dins las calculatridoiras e ordinators.
Aritmetica
Representacion de las operacions Representant cada entièr per una colleccion d'objèctes (de pèiras o de getons per exemple), l'operacion d'addicion es representada per la reunion de doas colleccions, alara que la sostraccion ne ven a levar una colleccion d'una autra. Aquesta representacion mòstra plan l'impossibilitat de sostraire (dins los entièrs naturalsLa soustraction est toujours possible dans les entiers relatifs.) un nombre a un autre estrictament mai pichon.
La multiplicacion de dos entièrs naturals correspon a l'emplissatge d'un rectangle que dos costats adjacents representon cadun un dels factors.
La division euclidiana d'un entièr (nomenada dividend) per un autre (nomenat divisor e necessàriament non nul) es illustrada pel renjament de la colleccion representant lo dividend dins un rectangle qu'un costat representa lo divisor. Lo nombre de rengs complèts representa alara lo quocient alara que l'eventuala renjada incomplèta representa lo rèste, necessàriament estrictament inferior al divisor.
Multiple e divisor Donat un entièr natural non nul, l’ensemble de sos multiples es infinit mas regularament despartit e aisidament de descriure per una seguida aritmetica. Per exemple, los multiples de 2 son los nombres pars, que sont alternats amb los nombres impars d'entre totes los entièrs.
Al contrari, l’ensemble dels divisors d’un entièr non nul es sempre finit e sa reparticion a pas gaire lo mèsme biais de regularitat. Conten de segur lo nombre de divisar e lo nombre 1, los eventuals autres divisors se situisson entre los dos extrèms. Mas es en general dificil de listar aquestes autres divisors a partir d’una escritura del nombre dins una basa donada.
Aqueste problèma es ligada en partida a la raretat dels critèris simples per determinar sens calcul se un nombre es divisible per un autre. Dins un sistèma de numeracion posicionala decimala, diferents critèris de divisibilitat son coneguts poer de pichons divisors (subretot per 2, 3, 5, 9 e 10), mas levat aquestes cases, es subretot la division euclidiana que permet de respondre a aquesta question.
Nombre primièr