Сноп — математичка структура која го на секое отворено подмножество на тополошки простор му одредува множество, кое често се интерпретира како множеството на функции врз истото множество.

Мотивација Нека е реално диференцијабилно многуобразие. Тогаш, за секое отворено подмножество го добиваме множеството на непрекинато диференцијабилни функции од видот . Ако се отворени подмножества, секоја функција може да се ограничи врз помалото отворено множество . Така добиваме за сите отворени функција . Ваквиот податок кој се состои од назначени множества за секое отворено подмножество заедно со функции на ограничување го нарекуваме сноп.

Нека е диференцијабилно пресликување на диференцијабилни многуобразија. За секое отворено подмножество добиваме пресликување каде се испраќа кон . Забележи дека ова пресликување е добро дефинирано бидејќи е диференцијабилно пресликување. Не е тешко дури и следново да се докаже: ако е непрекинато (не бараме да е диференцијабилно!) пресликување меѓу диференцијаблини многуобразија, тогаш е диференцијабилно, ако и само ако погоре дефинираните пресликувања се добро дефинирани.

Ова значи дека за да ја знаеме диференијабилната стурктура врз многуобразие , доволно е да го имаме податокот на горе дефинираните и . Ова природно не води кон дефиницијата на предсноп, која ќе ја дадеме накратко. Дефиницијата на предсноп е обид да са формализираат својствата кои ги очекуваме од множества на функции заедно со ограничувања. Сепак, оваа дефиниција не е доволно „добра“ во овој контекст, бидејќи има премалку структура. Поимот на снопот додава врз поимот на предсноп дополнителни барања кои исто се природни во овој контекст.

Дефиниција на предсноп Нека е тополошки простор. Предсноп (на множества) врз се состои од следниве податоци: За секое отворено подмножество назначено множество ; За сите вметнувања на отворени подмножества назначено пресликување ,

кои ги исполнуваат следните услови:

За сите вметнувања на отворени подмножества важи .

Елементите на се нарекуваат секции врз , a елементите на глобални секции.

Во погорната дефиниција можат множества да бидат заменети со објекти од произволна категорија (најчесто абелови групи или прстени), така што тогаш се бара да се морфизми во истата категорија.

Еквивалентна дефиниција Нека е тополошки простор. Ја дефинираме категоријата (од француски ouvert, отворен), чии објекти се отворените подмножества на , а чии морфизми се вметнувањата , т.е. постои точно еден морфизам ако и само ако . Тогаш предсноп врз е контраваријантен функтор од кон категоријата на множества (или произволна категорија ).

Дефиниција на сноп Нека е тополошки простор. Предсноп врз се нарекува сноп, ако ги исполнува следниве два услови: за секое отворено подмножество , сите покриви и секции , така што за сите , важи (аксиома на идентитет); за секое отворено подмножество , сите покриви и секции , така што за сите , постои , така што (аксиома на лепење); Еквивалентно, предсноп врз е сноп, ако и само ако за секое отворено подмножество и сите покриви , на природен начин добиентата низае егзактна, т.е. левата стрелка е инјективна, а нејзината слика е помножеството на на кое двете десни стрелки се согласуваат. Двете десни стрелки се индуцирани од рестрикциите и .

Примери Главни примери за (пред)снопови во геометријата се од видот кој на секое отвоерено подмножество му ги определува функциите врз тоа множество. На пример, за секое реално диференцијабилно многуобразие , податокот кој на секое отворено подмножество му го определува множеството (или дури и прстенот) на непрекинато диференцијабилните функции заедно со обичните ограничувања претставуваат сноп. Истото важи и за топлошките простори заедно со непрекинатите функции врз истиот, комплексните могуобразија заедно со холоморфните функции итн.

Предснопови кои што не се снопови Постојат предснопови кои што не се снопови. Нека е предснопот врз кој на секое отворено подмножество му ги определува ограничените функции од видот . Овој предсноп не е сноп, бидејќи ограничени функции врз ограничени отворени подмножества не можат секогаш се лепат на ограничена функција врз неограничено отворено подмножество. На сличен начин, предснопот врз на холоморфните функции кои поседуваат логаритам не е сноп.

Морфизам на (пред)снопови Нека се предснопови врз тополошки простор . Морфизам на предснопови се состои од следниве податоци: За секое отворено подмножество пресликување така што за секое вметнување на отворени подмножества дијаграмот

е комутативен, т.е. двете можни композиции во дијаграмот се еднакви.

Ако се предснопови на абелови групи, прстени итн. тогаш се бара дека пресликувањата се хомоморфизми на групи, прстени итн.

Од гледната точка на предснопови како контраваријантни функтори , морфизам на снопови е морфизам на функтори.

Морфизам на снопови е морфизам на предснопови, каде што двата снопа се гледаат како предснопови.

Предсноповите и сноповите врз заедно со вака дефинираните морфизми сочинуваат категории. (Пред)сноповите на абелови групи сочинуваат абелова категорија, т.е. категорија во која секој постојат конечни директни продукти и секој морфизам има јадро и којадро.

Стебло на (пред)сноп Нека е предсноп врз тополошки простор и точка. Стеблото (aнглиски stalk) на предснопот во е множеството каде колимесот е над подреденото множество на сите отворени множества во кои и што ја содржат точката и каде што .

Ако е предсноп на абелови групи, прстени итн. тогаш и ја има структурата на абелова група, прстен итн. (Ова важи за категорија во која постојат колимеси.)

Стеблото на сноп се дефинира како стеблото на итстиот сноп гледан како предсноп.

Ако е морфизам на (пред)снопови, тогаш на природен начин добиваме пресликување (поточно хомоморфизам во слугајите на преднопови на абелови групи или прстени) на стеблата во секоја точка .

Директна и инверзна слика на (пред)сноп Нека е непрекинато пресликување меѓу два тополошки простори. Ако имаме (пред)сноп врз или , природно е прашањето како може со помош на да се добие (пред)сноп врз врз другиот простор.

Директна слика на (пред)сноп Нека е предсноп врз . Тогаш за секое отворено заедно со природните рестрикции дефинира предсноп врз , наречен директната слика на преку . Ако е сноп, тогаш исто е сноп. Така довибаме функтори и .

Инверзна слика на (пред)сноп Нека е предсноп врз . Тогаш за секое отворено заедно со природните рестрикции дефинира предсноп врз , наречен инверзната слика на преку . Ако е сноп, тогаш исто е сноп. Така довибаме функтори и .

(Пред)сноп врз база на тополошки простор Нека е тополошки простор. База на е фамилија на отворени подмножества, така што секое отворено подмножество на може да се напише како соединение на отворени подмножества во .

Нека е база на која е затворена за операцијата „пресек“, т.е. пресекот на скои две отворени подмножества во е исто така во . Следнава дефиниција може да се формулира и без ова дополнително барање но ја олеснува дефиницијата. Предсноп врз базата на се состои од следниве податоци:

За секое отворено подмножество во назначено множество ; За сите вметнувања на отворени подмножества во назначено пресликување ,кои ги исполнуваат следните услови:

За сите вметнувања на отворени подмножества во важи . На сличен начин може да се дефинира сноп врз базата на како и погоре, т.е. сноп врз базата е предсноп врз кој за сите отворени покриви на отворени подмножества во ги исполнива погоренаведените аксиоми. Исто така може да се дефинира и преку егзактната низа.

Ако е (пред)сноп врз , тогаш на очигледен начин добиваме (пред)сноп врз базата .

Обратно важи следното: ако е сноп врз базата , тогаш може на еден и единствен начин (до изоморфија) да се прошири во сноп врз . Нека е произволно отворено подмножество и покрив од отворени подмножества во . Егзакната наиза од дефиницијата на сноп имплицира дека го знаеме (до изоморфија). Не е тешко да се провери дека ова дефинира сноп кој е единствено проширување до изоморфија. Ова значи дека ако сакаме да конструираме сноп, доволно е да го конструираме на (поволна) база.