La successione di Sylvester è formata dai denominatori coprimi di una frazione egiziana (essa è la somma di frazioni che hanno al numeratore l'unità e al denominatore numeri interi positivi distinti fra loro, per esempio +. Si dimostra che ogni numero razionale positivo, a/b, può essere scritto come frazione egiziana).
La somma delle frazioni ottenute mettendo al denominatore i numeri della successione di Sylvester tende ad 1. I suoi primi termini sono
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443
I termini della successione possono essere calcolati nel seguente modo:
.
Mettendo 1 come numeratore a questi numeri e sommando via via i risultati delle frazioni così ottenute, si ottiene una somma che converge a 1, come mostra la tabella seguente:
|2 |1/2 ... |1/2 |0.5 |- |3 |... + 1/3 ... |5/6 |0.833... |- |7 |... + 1/7 ... |41/42 |0.976190476190476... |- |43 |... + 1/43 ... |1805/1806 |0.99944629014396456257... |- |1807 |... + 1/1807 ... |3263441/3263442 |0.99999969357506583540... |- |3263443 |... + 1/3263443 ... |10650056950805/10650056950806 |0.99999999999990610379... |- |10650056950807 |... + 1/10650056950807 ... | |0.99999999999999999999...
Possiamo quindi scrivere
La successione di Sylvester è utile per ottenere approssimazioni razionali di numeri irrazionali, usando un algoritmo goloso (Algoritmo greedy, un algoritmo di ottimizzazione che procede a costruire in ciascuno dei suoi stadi successivi una soluzione ottimale locale, con la speranza di trovare la soluzione ottimale globale).
Sebbene sia ovvio che i termini della sequenza di Sylvester siano coprimi, non si sa se essi siano tutti liberi da radici (tutti i termini conosciuti lo sono).
Nell'insieme delle soluzioni del problema di Znám per una lunghezza k data, è piacevole il fatto che almeno una delle soluzioni conterrà i primi k - 2 numeri della sequenza di Sylvester.
Note
Collegamenti esterni
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