Nella teoria della probabilità, la distanza di Hellinger tra due misure di probabilità e assolutamente continue rispetto a una terza misura , serve a quantificare la similarità tra le due distribuzioni. È un tipo di f-divergenza definita in termini dell'integrale di Hellinger, introdotto da Ernst Hellinger nel 1909. Viene anche detta distanza di Jeffreys.
Per definizione, il quadrato della distanza di Hellinger tra e è dato da:
dove e indicano rispettivamente le derivate di Radon-Nikodym di e . Questa definizione non dipende da , per cui la distanza di Hellinger tra e non cambia se viene sostituita da un'altra misura di probabilità rispetto alla quale e siano assolutamente continue.
Per semplificare la scrittura, la formula precedente viene comunemente scritta come:
La distanza di Hellinger così definita soddisfa: .
Nota: Alcuni autori non includono il fattore 1/2 che precede l'integrale in questa definizione.
Esempi
La distanza di Hellinger tra due distribuzioni normali e è data da:
La distanza di Hellinger tra due distribuzioni esponenziali e è data da:
La distanza di Hellinger tra due distribuzioni di Poisson e è:
La distanza di Hellinger tra due distribuzioni beta e è data da:
dove indica la funzione beta. Note
Bibliografia
Voci correlate Distanza di Bhattacharyya Divergenza di Kullback-Leibler
Categoria:Distribuzioni di probabilità Categoria:Metrica