In matematica, il campo delle transserie logaritmico-esponenziali è un campo differenziale ordinato non archimedeo che estende la comparabilità dei tassi di crescita asintotici di funzioni elementari non trigonometriche a una classe molto più ampia di oggetti. Ogni transserie logaritmico-esponenziale rappresenta un comportamento asintotico e può essere manipolata formalmente. Quando converge (o in ogni caso, qualora si utilizzi una semantica speciale, come nel caso in cui si utilizzino i numeri surreali infiniti), il detto comportamento corrisponde al suo comportamento effettivo. Le transserie possono anche essere utili per rappresentare funzioni. Attraverso l'inclusione dell'esponenziazione e dei logaritmi, le transserie sono una generalizzazione delle serie di potenze all'infinito ( ) e di talaltre espansioni asintotiche simili.
Il campo è stato introdotto indipendentemente da Dahn-Göring ed Ecalle nei rispettivi contesti della teoria dei modelli (o dei campi esponenziali) e dello studio della singolarità analitica. Compendio alla introduzione è costituito dalla dimostrazione da parte di Ecalle delle congetture di Dulac. Il campo costituisce un oggetto formale che estende il campo delle funzioni logaritmico-esponenziali di Hardy e il campo delle serie accelerando-sommabili di Ecalle.
Il campo gode di una ricca struttura: un campo ordinato con una nozione di serie generalizzate e somme, con una derivazione compatibile con distinta nozione di integrazione, funzioni esponenziali e logaritmiche compatibili e una nozione di composizione formale di serie.
Esempi e controesempi In termini informali, le transserie logaritmico-esponenziali sono serie di Hahn ben basate (cioè inversamente ben-ordinate) di potenze reali dell'infinito indeterminato positivo , di esponenziali, di logaritmi e delle loro composizioni (Ammesso che quest'ultime funzioni abbiano coefficienti reali). Due importanti condizioni aggiuntive sono che la profondità esponenziale e logaritmica di una transserie logaritmico-esponenziale (Ovverosia il numero massimo di iterazioni di esponenziali e logaritmi che in essa si verificano) debba essere finita.
Le seguenti serie sono transserie logaritmico-esponenziali:
Le seguenti serie non sono transserie logaritmico-esponenziali:
— questa serie non è ben basata. — la profondità logaritmica di questa serie è infinita. — la profondità logaritmica e quella esponenziale di questa serie sono infinite.
È possibile definire campi differenziali di transserie contenenti le due immediatamente suddette serie appartenendo esse rispettivamente a e .
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