miniatura|Ilustración da construción dunha esfera topolóxica como espazo cociente dun disco, identificando todos os puntos da súa fronteira (azul) nun único punto. En topoloxía, o espazo cociente dun espazo topolóxico baixo unha relación de equivalencia dada é un novo espazo topolóxico construído ao dotar ao conxunto cociente do espazo topolóxico orixinal da topoloxía cociente, é dicir, coa topoloxía máis fina que fai continua á proxección canónica (a aplicación que mapea os puntos ás súas clases de equivalencia). Noutras palabras, un subconxunto dun espazo cociente é aberto se e só se a súa preimaxe baixo a proxección canónica é aberta no espazo topolóxico orixinal.

Intuitivamente, os puntos de cada clase de equivalencia son "pegados entre si" para formar un novo espazo topolóxico. Por exemplo, a identificación dos puntos dunha esfera que pertencen ao mesmo diámetro (antipodais) produce o plano proxectivo como espazo cociente.

Definición Dado un conxunto non baleiro e unha relación de equivalencia, o conxunto formado polas clases de equivalencia de elementos de é o que chamamos conxunto cociente. A construción de define unha aplicación sobrexectiva canónica , comunmente denominada proxección canónica, onde representa a clase de equivalencia do elemento .

Sexan un espazo topolóxico e unha relación de equivalencia en O espazo cociente de respecto de é o conxunto equipado coa chamada topoloxía cociente, cuxos conxuntos abertos son aqueles subconxuntos cuxa preimaxe é aberta en , é dicir, o espazo cociente é , onde

Noutras palabras, é aberto na topoloxía cociente se e só se é aberto en De maneira similar, un subconxunto é pechado na topoloxía cociente se e só se o conxunto é pechado en .

A topoloxía cociente é a topoloxía final no conxunto cociente respecto da proxección canónica

Aplicación cociente Sexan e espazos topolóxicos. Unha aplicación é unha aplicación cociente ou identificación se é sobrexectiva e coincide coa topoloxía final inducida por . Esta última condición admite unha formulación máis elemental: un subconxunto é aberto en se e só se o é en . Por definición, toda identificación é continua, mais o recíproco non é certo.

Se é é un espazo topolóxico, entón a proxección canónica é unha identificación respecto de .

Conxuntos saturados

Un subconxunto de chámase saturado (con respecto a ) se é da forma para algún conxunto , o cal é certo se e só se . A aplicación establece unha bixección (cuxa inversa é ) entre subconxuntos de e subconxuntos saturados de . Con esta terminoloxía, unha aplicación sobrexectiva é unha identificación se e só se, para cada subconxunto saturado de , este é aberto en se e só se é aberto en . En particular, os conxuntos abertos non saturados non teñen impacto algún sobre se a función é unha identificación (ou, de feito, continua).

De feito, si é unha topoloxía en e é unha aplicación calquera, entón o conxunto de todos os subconxuntos saturados con respecto a forma unha topoloxía en . Se é tamén un espazo topolóxico entón é unha identificación (respectivamente, continua) se e só se o é tamén .

Espazo cociente e caracterización de fibras

Dada unha relación de equivalencia en , se denotamos por a proxección canónica de no seu espazo cociente asociado, entón, para tense que se e só se En particular, para todo Isto mostra que o conxunto cociente é exactamente o conxunto de fibras da proxección canónica. Até homeomorfismo, esta construción é representativa de todos os espazos cocientes; agora explícase o significado preciso disto.

Sexan unha unha aplicación sobrexectiva entre espazos topolóxicos e a única relación en tal que, para , se ten que se e só se Entón é claramente unha relación de equivalencia en de tal maneira que para todo o que implica que é un conxunto unitario. Denótese o devandito elemento por , de forma que . Entón a aplicación define unha bixección entre as fibras de e os puntos de Representado por de novo á proxección canónica, téñense as identidades

Se consideramos a topoloxía cociente sobre (de forma que é unha identificación), séguese que é continua se e só se é un homeomorfismo.

Definicións relacionadas Unha é unha aplicación sobrexectiva coa propiedade de que, para todo subconxunto , a restrición é tamén unha aplicación cociente. Existen aplicacións cociente que non son hereditariamente cociente.

Exemplos

Pegado. En topoloxía, dise que se identifican ou pegan puntos dun espazo. Se é un espazo topolóxico, pegar os puntos e de significa considerar o espazo cociente obtido mediante a relación de equivalencia definida por

Considérese o cadrado unitario e a relación de equivalencia xerada pola condición de que todos os puntos da súa fronteira sexan equivalentes, identificándoos así nunha única clase de equivalencia. Entón é homeomorfo á esfera .

miniatura|Por exemplo, é homeomorfo á circunferencia .

Espazo de adxunción. Máis xeralmente, sexa un espazo topolóxico e un subespazo de . Pódense identificar todos os puntos de nunha única clase de equivalencia, deixando os puntos fóra de equivalentes unicamente a si mesmos. O espazo cociente resultante denótase por . Así, a esfera bidimensional é homeomorfa a un disco pechado coa súa fronteira identificada nun único punto:

Considérese o conxunto dos números reais coa súa topoloxía usual, e defínase é un número enteiro. Entón o espazo cociente é homeomorfo á circunferencia unidade mediante o homeomorfismo que leva a clase de equivalencia de en .

Unha xeneralización do exemplo anterior é a seguinte. Supoñamos que un grupo topolóxico actúa continuamente sobre un espazo . Pódese definir en unha relación de equivalencia establecendo que dous puntos son equivalentes se e só se pertencen á mesma órbita. O espazo cociente correspondente denomínase espazo de órbitas e denótase por . No exemplo anterior, actúa sobre mediante translacións, e o espazo de órbitas é homeomorfo a .

En xeral, non é certo que, se é unha aplicación cociente, toda sucesión converxente(ou, máis xeralmente, toda rede converxente) de teña un levantamento mediante que sexa unha sucesión (ou rede) converxente en . Un exemplo é e a proxección canónica dada pola relación de equivalencia

Propiedades

As aplicacións cociente caracterízanse, entre as aplicacións sobrexectivas, pola seguinte propiedade: se é un espazo topolóxico e é unha aplicación calquera, entón é continua se e só se é continua.

O espazo cociente , xunto coa aplicación cociente , está caracterizado pola seguinte propiedade universal: se é unha aplicación continua tal que sempre que para todos , entón existe unha única aplicación continua tal que . Noutras palabras, o seguinte diagrama é conmutativo:

Dise que descende ao cociente para expresar que se factoriza a través do espazo cociente. Polo tanto, as aplicacións continuas definidas sobre son precisamente aquelas que proceden de aplicacións continuas definidas sobre que respectan a relación de equivalencia, no sentido de que levan elementos equivalentes á mesma imaxe. Este criterio úsase frecuentemente no estudo dos espazos cociente.

Dada unha aplicación sobrexectiva continua , resulta útil dispor de criterios para determinar se é unha aplicación cociente. Dous criterios suficientes son que sexa aberta ou pechada. Cómpre salientar que estas condicións son só suficientes, non necesarias. É doado construír exemplos de aplicacións cociente que non sexan nin abertas nin pechadas. No caso dos grupos topolóxicos, a aplicación cociente é aberta. Compatibilidade con propiedades topolóxicas

Axiomas de separación En xeral, os espazos cociente posúen un comportamento pouco regular respecto dos axiomas de separación. As propiedades de separación de non teñen por que ser herdadas por e pode ter propiedades de separación que non posúe

é un espazo T1 se e só se toda clase de equivalencia de é pechada en Como exemplo negativo, consideremos o espazo coa topoloxía usual e o subconxunto non pechado. O espazo cociente obtido da relación de pertenza ao conxunto (identificando todos os puntos de nun único punto) é homemomorfo ao espazo de Sierpiński, que non é T1.

Para que sexa un espazo Hausdorff, entón o conxunto debe ser pechado no espazo produto Esta condición, porén, non é suficiente en xeral. Por exemplo, se é un subconxunto pechado dun espazo de Hausdorff a relación de equivalencia que identifica todos os puntos de nun único punto é (onde denota a diagonal en ), que é pechado en Pero o espazo cociente non será Haussdorf se non é regular e existe un punto que non pode ser separado por abertos de .

Se a proxección canónica é aberta, entón é Hausdorff se e só se a relación é pechada en

Algunhas propiedades de separación consérvanse baixo determinadas condicións. En particular, Se é un espazo T4 (é dicir, normal Hausdorff) e a proxección canónica é pechada, entón tamén é T4. Se é un espazo T6 (é dicir, perfectamente normal Hausdorff) e a proxección canónica é pechada, entón tamén é T6. Se é compacto Hausdorff, entón é Hausdorff se e só se a proxección canónica é pechada; equivalentemente se a relación é pechada en

Conexidade Se un espazo é conexo ou conexo por camiños, todos os seus espazos cociente tamén o son. Un espazo cociente dun espazo simplemente conexo ou contráctil non ten por que posuír estas propiedades.

Compacidade

Se un espazo é compacto, todos os seus espazos cociente tamén son compactos. Un espazo cociente dun espazo localmente compacto non ten por que ser localmente compacto.

Dimensión A dimensión topolóxica dun espazo cociente pode ser maior ou menor que a do espazo orixinal; as curvas que enchen o espazo proporcionan exemplos deste fenómeno.

Notas

Véxase tamén Bibliografía

Categoría:Topoloxía