O lema de intercambio de Steinitz é un teorema de álxebra lineal relativo ás bases e a dimensión de espazos vectoriais finitamente xerados. O resultado dinos que, para calquera base, existe unha forma de substituír calquera número vectores da base por outros vectores linealmente independentes mantendo a propiedade xeradora do espazo.
Pode usarse, por exemplo, para mostrar que dúas bases calquera dun espazo vectorial finito dimensional teñen o mesmo número de elementos. O resultado leva o nome do matemático alemán Ernst Steinitz. En ocasións recibe tamén o nome de lema de intercambio Steinitz-Mac Lane, recoñecendo tamén a xeneralización. do teorema feita por Saunders Mac Lane para matroides..
Enunciado Sexan un -espazo vectorial, unha base de e vectores linealmente independentes. Entón e pódense substituír vectores da base por obtendo de novo unha base de .
Unha formulación equivalente é a seguinte:
Sexan un -espazo vectorial, unha base de e vectores linealmente independentes. Entón e existen vectores de de xeito que é unha base de .
Demostración Como e son linealmente independentes, podemos atopar tales que con para algún . Supoñamos, sen perda de xeneralidade, que . Entón
o que nos di que . Ademais é un conxunto linealmente independente de vectores, pois dados tales que
basta con notar que
e, por ser base de , e para todo , de onde Polo anterior é unha base de .
Aplicacións O lema de intercambio de Steinitz é un resultado básico en matemáticas computacionais, especialmente en álxebra lineal e algoritmos combinatorios.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley (1984).
Ligazóns externas Proba en sistema Mizar: http://mizar.org/version/current/html/vectsp_9.html#T19
Categoría:Teoría de matroides Categoría:Álxebra Categoría:Álxebra lineal