En álxebra abstracta, un conxunto multiplicativamente pechado (ou conxunto multiplicativo) é un subconxunto S dun anel R tal que se cumpren as dúas seguintes condicións:Atiyah and Macdonald, p. 36.Lang, p. 107.
, para todos .
Noutras palabras, S é pechado baixo os produtos finitos, incluído o produto baleiro 1.Eisenbud, p. 59. De xeito equivalente, un conxunto multiplicativo é un submonoide do monoide multiplicativo dun anel.
Os conxuntos multiplicativos son importantes especialmente na álxebra conmutativa, onde se usan para construír localizacións de aneis conmutativos.
Un subconxunto S dun anel R chámase saturado se é pechado baixo o subconxunto de divisores: é dicir, sempre que un produto xy está en S, os elementos x e y tamén están en S.
Exemplos Algúns exemplos de conxuntos multiplicativos son:
o complementario dun ideal primo nun anel conmutativo; o conxunto , onde x é un elemento dun anel; o conxunto de unidades dun anel; o conxunto de divisores distintos de cero nun anel; para un ideal I; os números de Jordan-Pólya, o peche multiplicativo dos factoriais.
Propiedades
Un ideal P dun anel conmutativo R é primo se e só se o seu complementario é multiplicativamente pechado. Un subconxunto S é á vez saturado e multiplicativamente pechado se e só se S é o complemento dunha unión de ideais primos.Kaplansky, p. 2, Theorem 2. En particular, o complemento dun ideal primo é á vez saturado e multiplicativamente pechado. A intersección dunha familia de conxuntos multiplicativos é un conxunto multiplicativo. A intersección dunha familia de conxuntos saturados é saturada.
Notas
Véxase tamén Bibliografía M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.
Outros artigos Localización dun anel Anel de división
Categoría:Álxebra abstracta