thumb|É posíbel utilizar os menores de orde 2 dunha matriz de dimensión 3 para calcular o seu determinante. En álxebra linealr, un menor dunha matriz é o determinante dalgunha matriz cadrada máis pequena xerada a partir de eliminando unha ou máis das súas filas e columnas. Os menores obtidos eliminando só unha fila e unha columna das matrices cadradas (menores primeiros) son necesarios para calcular os cofactores matriciais, que son útiles para calcular tanto o determinante como a inversa das matrices cadradas.
Definición e exemplo
Menores primeiros Se é unha matriz cadrada, entón o menor da fila e a columna (tamén chamado menor ou un menor primeiro ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila e a columna . Este número adoita denotarse .
O cofactor obtense multiplicando o menor por .
Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz ,
Para calcular o menor e o cofactor , atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.
Polo tanto, o cofactor da entrada é
Definición xeral Sexa unha matriz e un número enteiro con , e . Un menor de , tamén chamado determinante menor de orde de , é o determinante dunha matriz obtida de eliminando filas e columnas. Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973,
Aplicacións de menores e cofactores
Expansión en cofactores do determinante Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz , , o determinante de , denotado como , pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo entón a expansión do cofactor ao longo da -ésima columna dá:
A expansión do cofactor ao longo da fila -ésima dá:
Inversa dunha matriz Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada chámase matriz de cofactores:
Entón, a inversa de é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de :
A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta de .
Unha observación sobre a notación Nalgúns libros, en lugar de cofactor úsase o termo adxunto. Ademais, denomínase e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :
Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito:
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Determinante (matemáticas) Matriz (matemáticas) Ligazóns externas MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare PlanetMath Cofactors Springer Encyclopedia of Mathematics Minor
Categoría:Matrices