En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo,
é unha forma cadrática nas variábeis e . Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo , como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre . Se , e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.
As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.
Introdución As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: onde , ... , son os coeficientes.Unha tradición que se remonta a Gauss dita o uso de coeficientes manifestamente pares para os produtos de distintas variábeis, é dicir, en lugar de en formas binarias e , , en lugar de , , en formas ternarias. Ambas convencións ocorren na literatura.
Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en variábeis define unha cádrica dimensional no espazo proxectivo dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas e a orixe:
Matriz simétrica asociada Calquera matriz denotada por determina unha forma cadrática en variábeis por onde .
Exemplo Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis . A matriz ten a forma
A fórmula anterior dá
Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas , e máis . En particular, a forma cadrática está definida por unha matriz simétrica única
Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.
Caso xeral Dada unha forma cadrática , definida pola matriz , a matriz
é simétrica, define a mesma forma cadrática que , e é a única matriz simétrica que define .
Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.
Formas cadráticas reais Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.
Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal"
onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes determínanse unicamente ata unha permutación.Maxime Bôcher (with E.P.R. DuVal)(1907) Introduction to Higher Algebra, § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares via HathiTrust
Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna , onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.
O caso no que todos teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice (onde denota o número de 1s e denota o número de −1s) é a miúdo escrito como particularmente na teoría física do espazo-tempo.
Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, .
Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.
Sexa unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real -dimensional. Sexa a matriz da forma cadrática nunha base dada. Isto significa que é unha matriz simétrica tal que
onde x é o vector columna de coordenadas de na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel , , e a matriz cadrada simétrica transfórmase noutra matriz cadrada simétrica do mesmo tamaño segundo a fórmula
Calquera matriz simétrica pode transformarse nunha matriz diagonal
mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal , e as entradas diagonais de determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ( para 0, para 1 e para −1) depende só de . Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números e chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección dunha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real , a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática .
Definicións Unha forma cadrática sobre un corpo é un mapa dun espazo vectorial de dimensión finita en tal que para todo , e a función é bilinear.
Máis concretamente, unha forma cadrática -aria sobre un corpo é un polinomio homoxéneo de grao 2 en variábeis con coeficientes en :
Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa o vector columna con compoñentes , ... , e sexa a matriz sobre cuxas entradas son os coeficientes de . Entón
Un vector é un vector nulo se .
Dúas formas cadráticas -arias e sobre son equivalentes se existe unha transformación linear non singular tal que
Sexa a característica de diferente de 2. A matriz de coeficientes de pode substituírse pola matriz simétrica coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia , a matriz simétrica de e a matriz simétrica de están relacionadas do seguinte xeito:
A forma bilinear asociada dunha forma cadrática defínese por
Así, é unha forma bilinear simétrica sobre con matriz . Pola contra, calquera forma bilinear simétrica define unha forma cadrática
e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en variábeis son esencialmente as mesmas.
Espazo cadrático Dado un espazo vectorial -dimensional sobre un corpo , unha forma cadrática en é unha función que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función que mapea as coordenadas de en é unha forma cadrática. En particular, se coa súa base estándar, temos
As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en , aínda que a forma cadrática depende da elección da base.
Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático .
O mapa é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo en e en :
Cando a característica de non é 2, o mapa bilinear sobre defínese:
Esta forma bilinear é simétrica. É dicir, para todo , en , e determina : para todo en .
O par formado por un espazo vectorial de dimensión finita sobre e un mapa cadrático de en chámase espazo cadrático, e tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a . A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, tamén se denomina forma cadrática.
Dous espazos cadráticos de dimensión e son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel (isometría) tal que
As clases de isometría de espazos cadráticos -dimensionais sobre corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas -arias sobre .
Conceptos relacionados Dous elementos e de chámanse ortogonais se . O kernel dunha forma bilinear está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de . é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é . Se existe un distinto de cero en tal que , a forma cadrática é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de a un subespazo de é idéntico a cero, entón é totalmente singular.
O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular é o grupo dos automorfismos lineares de que conservan : é dicir, o grupo de isometrías de en si mesmo.
Se un espazo cadrático ten un produto polo que é unha álxebra sobre un corpo e cumpre
entón é unha álxebra de composición.
Equivalencia de formas Toda forma cadrática en variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal
Tal forma diagonal é a miúdo denotada como . A clasificación de todas as formas cadráticas ata equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.
Significado xeométrico Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa , e sexa unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación depende dos eigenvalores da matriz .
Se todos os eigenvalores de son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide. Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.
Se existen un ou máis valores propios , entón a forma depende do correspondente. Se o correspondente , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente , entón a dimensión dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de . Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.
Formas cadráticas integrais As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.
Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como ; de forma equivalente, dada unha retícula nun espazo vectorial (sobre un corpo con característica 0, como ou ), unha forma cadrática é integral en relación a se e só se ten un valor enteiro en , o que significa se .
Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.
Formas cadráticas universais