miniatura|270x270px| Exemplos de transformacións con diferentes ordes: xiro de 90° coa orde 4, cisallamento con orde infinita e as súas composicións coa orde 3. En matemáticas, a orde dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é infinita. A orde dun elemento dun grupo (tamén chamado período) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo de tal xeito que , onde denota o elemento de identidade do grupo e indica o produto de copias de . Se non existe tal , a orde de é infinita.
A orde dun grupo denotase por ou , e a orde dun elemento denotase por ou , en vez de onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por .
O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo dun grupo finito , a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir, é un divisor de . En particular, a orde de calquera elemento é un divisor de .
Exemplo O grupo simétrico S3 ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.
Este grupo ten seis elementos, así que . Por definición, a orde da identidade, , é un, xa que . Cada un dos , e son ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: . Finalmente, e teñen orde 3, xa que , .
Orde e estrutura A orde dun grupo G e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |G| máis complicada é a estrutura de G.
Para |G| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade a = e ten ord(a) = 1. Se todo elemento non identidade en G é igual ao seu inverso (de xeito que a 2 = e), entón ord(a) = 2; isto implica que G é abeliano xa que . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) Z6 de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:
.
A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos
para o subgrupo xerado por a, daquela
Para calquera número enteiro k, temos
a k = e se e só se ord(a) divide a k.
En xeral, a orde de calquera subgrupo de G divide a orde de G. Máis precisamente: se H é un subgrupo de G, daquela
ord(G )/ord(H) = [G :H], onde [G:H] chámase índice de H en G, un número enteiro. Este é o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(G) = , o cociente ord(G)/ord(H) non ten sentido).
Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S3) = 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.
Polo outro lado, o seguinte é verdade para grupos finitos: se d divide a orde dun grupo G e d é un número primo, entón existe un elemento de orde d en G (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución. As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo G é unha potencia dun p primo se e só se ord(a) é algunha potencia de p para todo a en G.
Se a ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de a tamén teñen unha orde infinita. Se a ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de a:
ord(ak) = ord(a) / mcd(ord(a), k)Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, , pp. 57
para todo número enteiro k. En particular, a e a súa inversa a −1 teñen a mesma orde.
En calquera grupo,
En relación cos homomorfismos Os homomorfismos de grupos tenden a reducir as ordes dos elementos: se f : G → H é un homomorfismo e a é un elemento de G de orde finita, entón ord(f (a)) divide ord(a). Se f é inxectiva, entón ord(f(a)) = orde(a). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial h: S3 → Z5, porque todo número agás o cero en Z5 ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S 3 .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.
Ecuación de clase Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito G coa orde do seu centro Z(G) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:
onde os di son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |G| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en G dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S3 é só o grupo trivial co único elemento e, e a ecuación di |S3 |= 1+2+3. Notas
Véxase tamén
Bibliografía Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, , pp. 20, 54–59, 90 Artin, Michael. Algebra, , pp. 46–47 Outros artigos Índice (teoría de grupos).
Categoría:Teoría de grupos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas