thumb|Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä . Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.
Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.
Gammafunktion johtaminen Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä . on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:
josta
Toistetaan:
Toistetaan:
Sijoitetaan ja saamme
josta määrittelemme gammafunktion
n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:
Gammafunktion ominaisuuksia Jos on luonnollinen luku, niin
Jos on luonnollinen luku, niin saadaan:
ja
Tästä tulee arvot:
Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:
Gammafunktiolle pätee lisäksi:
Katso myös Gamma-jakauma, Beta-jakauma
Lähteet
Kirjallisuutta
Aiheesta muualla
Mathworld. Gamma Function
Luokka:Funktiot Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit