thumb|300px|Niveles de aumento de la materia:

Materia. Estructura molecular. Átomos. Electrones. Quarks. Cuerdas. En geometría algebraica y física teórica, la simetría especular es una relación entre objetos geométricos llamados variedades de Calabi-Yau. El término se usa cuando dos variedades de Calabi-Yau tienen un aspecto geométricamente muy diferente, pero sin embargo son equivalentes cuando se emplean como dimensiones extras de la teoría de cuerdas.

Físicos como Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten, Brian Greene, Ronen Plesser, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, entre otros, descubrieron originalmente la simetría especular en este contexto particular. Los matemáticos comenzaron a interesarse en esta relación en 1990, cuando Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes mostraron que podía ser utilizada como una herramienta en la geometría enumerativa, una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. Candelas y sus colaboradores descubrieron que la aplicación de la simetría especular podía servir para contar las curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau, resolviendo así un problema de larga duración. Aunque originalmente el concepto de simetría especular se basó en ideas físicas sin una formulación matemáticamente precisa, también en el campo de la ciencia mencionada en último lugar algunas de sus predicciones se han probado rigurosamente desde entonces.

La simetría especular es un importante tema de investigación en las matemáticas puras. El objetivo principal de los trabajos en este campo es desarrollar una comprensión en términos matemáticos de la relación, basada inicialmente en la intuición física. La simetría especular es también una herramienta fundamental para hacer cálculos en la teoría de cuerdas y se ha utilizado para entender ciertos aspectos de la teoría cuántica de campos, el formalismo que los físicos utilizan para describir partículas elementales. Entre las principales ideas para entender la simetría especular se incluyen la conjetura de simetría especular homológica de Maksim Kontsévich y la conjetura SYZ de Andrew Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow.

Contexto general previo

Cuerdas y compactación

En física, la teoría de cuerdas es un marco teórico en el que las partículas asimiladas a puntos de la física de partículas se sustituyen por objetos unidimensionales llamados cuerdas. Estas cuerdas se visualizan como pequeños segmentos o bucles de cuerda ordinaria. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. A escalas mucho mayores que la de la cuerda, esta se verá como una partícula ordinaria, con su masa, carga y otras propiedades determinadas por el estado de vibración de la cuerda. Las interacciones entre partículas, explicadas convencionalmente como procesos de emisión y absorción de estas, se describen bajo el nuevo planteamiento como la división y recombinación de cuerdas.

Hay diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida diaria, hay tres dimensiones espaciales conocidas —arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás— y una dimensión de tiempo ―después/antes―. Así, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones o cuatridimensional. Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales para su consistencia matemática. En la versión que incorpora un planteamiento hipotético llamado supersimetría a la teoría de supercuerdas, hay seis dimensiones espaciales adicionales además de las cuatro conocidas, dando lugar a un espacio-tiempo de diez dimensiones.

Uno de los objetivos de la investigación en la teoría de cuerdas es el desarrollo de modelos consistentes con las propiedades de las partículas observadas en experimentos de física de alta energía. Puesto que su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones a la escala del experimento, se debe buscar la manera de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas. En los modelos más realistas basados en la teoría de cuerdas, esto se logra mediante un proceso llamado compactación, en el que se supone que las dimensiones extra se curvan sobre sí mismas para formar círculos. En el límite, donde estas dimensiones enroscadas llegan a ser muy pequeñas, se obtiene un modelo en el que el espacio-tiempo tiene, a efectos prácticos, un menor número de dimensiones. Una analogía común para visualizar esta situación es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se observa a cierta distancia, parece tener sólo una dimensión, su longitud. Sin embargo, a medida que el observador se acerca a ella, descubre que posee una segunda dimensión, su circunferencia.Aquí se entiende la dimensión de un objeto como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar cualquier punto de ella. Por lo tanto, las superficies de objetos tridimensionales como cilindros, esferas, toros, etc. tienen dos dimensiones. Por tanto, una hormiga caminando en la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones.

Variedades de Calabi-Yau

La compactación puede ser utilizada para construir modelos en los que, a efectos prácticos, el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones. Sin embargo, no todas las formas de compactar las dimensiones extra producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir el mundo natural que observamos. Para obtener un modelo viable, las dimensiones compactadas deben formar una variedad de Calabi-Yau. Esta variedad es un espacio especial que se considera generalmente de seis dimensiones en aplicaciones a la teoría de cuerdas. Recibe su nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau.

Cuando las variedades de Calabi-Yau entraron en la física de cuerdas como una forma de compactar dimensiones adicionales, comenzaron a despertar interés en el ámbito de la física. A finales de la década de 1980, Lance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa y Nick Warner notaron que para una compactación dada de la teoría de cuerdas, no era posible reconstruir de forma única la correspondiente variedad de Calabi-Yau. En cambio, en dos versiones diferentes conocidas como teoría de cuerdas de tipo IIA y tipo IIB, las dimensiones pueden ser compactadas en variedades de Calabi-Yau completamente diferentes, que dan lugar a las mismas propiedades físicas. En esta situación, reciben el nombre de variedades especulares, y la relación entre las dos teorías físicas se denomina simetría especular.

La relación de simetría especular es un ejemplo particular de lo que los físicos llaman una dualidad. En general, este término se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes en una forma no trivial. Si una hipótesis se puede transformar para asemejarla a otra teoría, se dice que son duales en virtud de esa transformación. Así pues, las dos conjeturas son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos. Estas dualidades juegan un papel importante en la física moderna, sobre todo en la teoría de cuerdas.

Independientemente de que las compactaciones Calabi-Yau de la teoría de cuerdas proporcionen una descripción correcta de la naturaleza, la existencia de la dualidad especular entre las diferentes teorías de cuerdas tiene consecuencias de interés para las matemáticas puras. Por ejemplo, la simetría especular permite a los expertos resolver problemas en la geometría algebraica enumerativa, una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a las cuestiones geométricas. Un problema clásico de la geometría enumerativa es enumerar las curvas racionales en una variedad Calabi-Yau. Mediante la aplicación de la simetría especular, el problema se plantea en una variedad Calabi-Yau diferente, donde es más fácil de resolver.

En la teoría de cuerdas, la simetría especular se justifica con un razonamiento basado en la física. Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no necesiten de una apelación a la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de la simetría especular descrita anteriormente es todavía solo una conjetura, pero hay otra versión de esta en el contexto de la teoría de cuerdas topológica, una variante simplificada de la teoría de cuerdas introducida por Edward Witten, que ha sido detalladamente comprobada por los matemáticos. En el contexto de la teoría de cuerdas topológica, la simetría especular establece que dos teorías llamadas modelo A y modelo B son equivalentes en el sentido de que hay una dualidad que las relaciona. Desde la postulación de su existencia, la simetría especular es un área activa de investigación en matemáticas, con el objetivo de desarrollar una formulación más completa y exacta de esta a partir del concepto físico.

Historia La idea de la simetría especular se remonta a mediados de la década de 1980, cuando se descubrió que una cuerda propagándose en un círculo de radio es físicamente equivalente a una propagándose en un círculo de radio . Este fenómeno se conoce ahora como dualidad T y se considera que está estrechamente relacionado con la simetría especular. En un artículo de 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten mostraron que al compactar la teoría de cuerdas en una variedad Calabi-Yau, se obtiene una hipótesis más o menos similar a la del modelo estándar de física de partículas, que también incorpora sistemáticamente una idea llamada supersimetría. A raíz de este desarrollo, muchos físicos comenzaron a estudiar las compactaciones Calabi-Yau, con la esperanza de construir modelos realistas de la física de partículas basados en la teoría de cuerdas. Cumrun Vafa, entre otros, notó que no es posible reconstruir únicamente una variedad de Calabi-Yau a partir de unas condiciones físicas, sino que hay dos de estas variedades consistentes con el modelo dado.

Mediante el estudio de la relación entre las variedades de Calabi-Yau y ciertas teorías conformes de campos, conocidas como modelos Gepner, Brian Greene y Ronen Plesser encontraron ejemplos no triviales de la relación especular. Otra prueba de este vínculo proviene de la obra de Philip Candelas, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, que analizaron por ordenador un gran número de variedades de Calabi-Yau y descubrieron que venían en pares especulares.

En 1990 los físicos Philip Candelas, Paul Green y Linda Parkes junto con la matemática Xenia de la Ossa mostraron que la simetría especular se podría utilizar para resolver problemas de geometría enumerativa a los que no se había podido hallar solución durante décadas. Estos resultados fueron presentados en una conferencia en el Mathematical Sciences Research Institute o MSRI en Berkeley, California, en mayo de 1991. Durante la disertación, se observó que uno de los números que Candelas había calculado para el recuento de curvas racionales no concordaba con el obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Strømme usando técnicas consideradas hasta entonces como más rigurosas. Muchos participantes de la conferencia presumieron que el trabajo de Candelas contenía un error, ya que no se basaba en argumentos estrictamente matemáticos. Sin embargo, después de examinar su solución, Ellingsrud y Strømme descubrieron un error de codificación en sus modelos informáticos y, tras corregirlo, consiguieron una respuesta que coincidía con la obtenida por Candelas y sus colaboradores.