L'equació de sinus-Gordon és una equació diferencial parcial no lineal de segon ordre per a una funció dependent de dues variables que normalment es denoten i , que implica l'operador d'ona i el sinus de .
Va ser introduït originalment per en el curs de l'estudi de superfícies de curvatura negativa constant com l'equació de Gauss-Codazzi per a superfícies de curvatura gaussiana constant −1 en un espai tridimensional. L'equació va ser redescoberta per en el seu estudi de dislocacions cristal·lines conegut com el model de Frenkel-Kontorova.
Aquesta equació va atreure molta atenció a la dècada del 1970 a causa de la presència de solucions de solitó, i és un exemple d'una EDP integrable. Entre les EDP integrables conegudes, l'equació sinusoidal de Gordon és l'únic sistema relativista a causa de la seva invariància de Lorentz.
Realitzacions de l'equació sinusoidal de Gordon Geometria diferencial Aquesta és la primera derivació de l'equació, feta per Bour (1862).
Hi ha dues formes equivalents de l'equació sinusoidal de Gordon. En les coordenades espai-temps (reals), denotades , l'equació és:
on les derivades parcials es denoten per subíndexs. Passant a les coordenades del con de llum (u , v), similar a les coordenades asimptòtiques on
l'equació pren la forma
Aquesta és la forma original de l'equació sinusoidal de Gordon, tal com es va considerar al segle XIX en el curs de la investigació de superfícies de curvatura gaussiana constant K = −1, també anomenades superfícies pseudoesfèriques.
Considerem una superfície pseudoesfèrica arbitrària. A cada punt de la superfície hi ha dues corbes asimptòtiques. Això ens permet construir un sistema de coordenades diferenciat per a aquesta superfície, en el qual u = constant, v = constant són les línies asimptòtiques i les coordenades s'incrementen per la longitud de l'arc a la superfície. En cada punt de la superfície, deixeu sigui l'angle entre les rectes asimptòtiques.
La primera forma fonamental de la superfície és
i la segona forma fonamental és i l'equació de Gauss-Codazzi és Així, qualsevol superfície pseudoesfèrica dóna lloc a una solució de l'equació sinusoidal de Gordon, tot i que amb algunes advertències: si la superfície és completa, és necessàriament singular a causa del teorema d'immersió de Hilbert. En el cas més simple, la pseudoesfera, també coneguda com a tractroide, correspon a un solitó estàtic, però el tractroide té una cúspide singular al seu equador.
A l'inrevés, es pot començar amb una solució a l'equació sinusoidal de Gordon per obtenir una pseudoesfera única fins a transformacions rígides. Hi ha un teorema, de vegades anomenat teorema fonamental de les superfícies, que estableix que si un parell de formes bilineals amb valors matricials satisfan les equacions de Gauss-Codazzi, aleshores són la primera i la segona formes fonamentals d'una superfície incrustada en un espai tridimensional. Les solucions de l'equació sinusoidal de Gordon es poden utilitzar per construir aquestes matrius utilitzant les formes obtingudes anteriorment. alt=A pseudosphere is deformed to a Dini surface through the Lie transform|center|miniatura|500x500px|Transformada de Lie aplicada a una pseudoesfera per obtenir una superfície de Dini
Noves solucions a partir de les antigues L'estudi d'aquesta equació i de les transformacions associades de superfícies pseudoesfèriques al segle XIX segle per Bianchi i Bäcklund van conduir al descobriment de les transformacions de Bäcklund. Una altra transformació de superfícies pseudoesfèriques és la transformada de Lie introduïda per Sophus Lie el 1879, que correspon als impulsos de Lorentz per a solucions de l'equació sinusoidal de Gordon.
També hi ha algunes maneres més senzilles de construir noves solucions però que no donen noves superfícies. Com que l'equació sinus-Gordon és senar, el negatiu de qualsevol solució és una altra solució. Tanmateix, això no dóna una nova superfície, ja que el canvi de signe es redueix a l'elecció de la direcció de la normal a la superfície. Es poden trobar noves solucions traduint la solució: si és una solució, aleshores també ho és per un nombre enter.
Model de Frenkel-Kontorova Un model mecànic miniatura|Una línia de pèndols, amb un "patró de respiració" oscil·lant al mig. Malauradament, la imatge està dibuixada amb la gravetat apuntant cap amunt. Considerem una línia de pèndol, suspesa en línia recta, en gravetat constant. Connecteu els capes del pèndol amb una corda en tensió constant. Deixa l'angle del pèndol a la ubicació ser , aleshores, esquemàticament, la dinàmica de la línia del pèndol segueix la segona llei de Newton: i aquesta és l'equació sinusoidal de Gordon, després d'escalar el temps i la distància adequadament.
Tingueu en compte que això no és exactament correcte, ja que la força neta sobre un pèndol a causa de la tensió no és precisament , però amb més precisió . Tanmateix, això dóna una imatge intuïtiva de l'equació sinusoidal de Gordon. Es poden produir realitzacions mecàniques exactes de l'equació sinusoidal-Gordon mitjançant mètodes més complexos.
Nomenament El nom "equació sinusoidal de Gordon" és un joc de paraules amb la coneguda equació de Klein-Gordon en física:
L'equació sinusoidal de Gordon és l'equació d'Euler-Lagrange del camp , la densitat lagrangiana del qual ve donada per
Utilitzant l'expansió en sèrie de Taylor del cosinus en el lagrangià,
es pot reescriure com el lagrangià de Klein-Gordon més termes d'ordre superior:
Solucions de solitons Una característica interessant de l'equació sinusoidal de Gordon és l'existència de solucions de solitó i multisolitó.
Solucions d'1 solitó L'equació sinusoidal de Gordon té les següents solucions d'1 solitó:
on
i s'assumeix la forma lleugerament més general de l'equació:
La solució d'1 solitó per a la qual hem triat l'arrel positiva s'anomena torçada i representa una torsió en la variable que pren el sistema des d'una solució constant a una solució constant adjacent . Els estats es coneixen com a estats de buit, ja que són solucions constants d'energia zero. La solució d'1 solitó en què prenem l'arrel negativa per a s'anomena antikink. La forma de les solucions d'1-solitó es pot obtenir mitjançant l'aplicació d'una transformada de Bäcklund a la solució trivial (buit) i la integració dels diferencials de primer ordre resultants:
per tots els temps.
Les solucions d'1 solitó es poden visualitzar amb l'ús del model sinusoidal de cinta elàstica introduït per Julio Rubinstein el 1970. Aquí fem un gir en sentit horari (esquerra) de la cinta elàstica per obtenir un doblec amb càrrega topològica. . El gir alternatiu en sentit antihorari (dretà) amb càrrega topològica serà un anti-torsionisme. marc|El solitó de kink itinerant representa una torsió en sentit horari que es propaga.marc|El solitó anti-torçament viatger representa un gir en sentit antihorari que es propaga. cap|miniatura|474x474px|Solució estàtica d'1 solitó
Solucions de 2 solitons Les solucions multisolitons es poden obtenir mitjançant l'aplicació contínua de la transformada de Bäcklund a la solució d'1 solitó, tal com prescriu una xarxa de Bianchi que relaciona els resultats transformats. Les solucions de 2 solitons de l'equació sinusoidal de Gordon mostren algunes de les característiques dels solitons. Els retorçaments i/o antiretorçaments sinusoïdals-Gordon viatgers passen els uns a través dels altres com si fossin perfectament permeables, i l'únic efecte observat és un canvi de fase. Com que els solitons que xoquen recuperen la seva velocitat i forma, aquesta interacció s'anomena col·lisió elàstica.
La solució kink-kink ve donada per
mentre que la solució kink-antikink ve donada per
marc|Col·lisió anti-torçada.marc|Col·lisió entre doblecs. Una altra solució interessant de 2-solitons sorgeix de la possibilitat d'un comportament acoblat de kink-antikink conegut com a respirador. Es coneixen tres tipus de respiradors: respirador permanent, respirador de gran amplitud itinerant i respirador de petita amplitud.Miroshnichenko A. E., Vasiliev A. A., Dmitriev S. V. Solitons and Soliton Collisions.
La solució de respiració dempeus ve donada per
marc|El respirador estacionari és un soliton oscil·lant acoblat de doblec-antiflexió.marc|Respirador mòbil de gran amplitud. marc|Respirador mòbil de petita amplitudsembla exòtic, però essencialment té un respir.
Solucions de 3 solitons Les col·lisions de 3 solitons entre un retorç viatger i un respirador estacionari o un antiretorç viatger i un respirador estacionari provoquen un canvi de fase del respirador estacionari. En el procés de col·lisió entre un doblec en moviment i un respirador estàtic, el desplaçament del respirador ve donat per
on és la velocitat del doblec, i és la freqüència del respirador.Miroshnichenko A. E., Vasiliev A. A., Dmitriev S. V. Solitons and Soliton Collisions. Si l'antiga posició del respirador de peu és , després de la col·lisió la nova posició serà . marc|Col·lisió entre un doblec mòbil i un respirador estàtic.marc|Col·lisió entre un dispositiu anti-torçament en moviment i un respirador estàtic.
Transformació de Bäcklund Suposem que és una solució de l'equació sinusoidal de Gordon
Aleshores, el sistema
on a és un paràmetre arbitrari, és resoluble per a una funció que també satisfarà l'equació sinusoidal de Gordon. Aquest és un exemple d'una transformació auto-Bäcklund, ja que ambdues i són solucions de la mateixa equació, és a dir, l'equació sinus-Gordon.
Mitjançant un sistema matricial, també és possible trobar una transformada lineal de Bäcklund per a solucions de l'equació sinusoidal de Gordon.
Per exemple, si és la solució trivial , aleshores és la solució d'un solitó amb relacionat amb l'augment aplicat al soliton.
Càrrega i energia topològiques La càrrega topològica o el nombre d'enrotllament d'una solució és L' energia d'una solució és on s'ha afegit una densitat d'energia constant de manera que el potencial no sigui negatiu. Amb això, els dos primers termes de l'expansió de Taylor del potencial coincideixen amb el potencial d'un camp escalar massiu, tal com s'ha esmentat a la secció de nomenclatura; els termes d'ordre superior es poden considerar com a interaccions.
La càrrega topològica es conserva si l'energia és finita. La càrrega topològica no determina la solució, fins i tot fins a augments de Lorentz. Tant la solució trivial com la solució del parell solitó-antisolító tenen .
Formulació de curvatura zero L'equació sinusoidal de Gordon és equivalent a la curvatura d'una determinada -connexió activada sent igual a zero.
Explícitament, amb coordenades en , els components de connexió són donats per on el són les matrius de Pauli. Aleshores, l'equació de curvatura zero
és equivalent a l'equació sinusoidal de Gordon . L'equació de curvatura zero s'anomena així perquè correspon a la curvatura igual a zero si es defineix .
El parell de matrius i també es coneixen com a parell de Lax per a l'equació sinusoidal-Gordon, en el sentit que l'equació de curvatura zero recupera l'EDP en lloc de satisfer l'equació de Lax.
Equacions relacionades El ve donada per
Aquesta és l'equació d'Euler-Lagrange del lagrangià
Una altra equació estretament relacionada és l' equació sinusoidal el·líptica de Gordon o l'equació sinusoidal euclidiana de Gordon, donada per
on ara és una funció de les variables x i y. Aquesta ja no és una equació de solitó, però té moltes propietats similars, ja que està relacionada amb l'equació sinusoidal de Gordon per la continuació analítica (o rotació de Wick) y = jo t.
L' equació el·líptica de sinh-Gordon es pot definir de manera similar.
Una altra equació similar prové de l'equació d'Euler-Lagrange per a la teoria de camps de Liouville