La descomposició ortogonal adequada és un mètode numèric que permet reduir la complexitat de les simulacions intensives en ordinador, com ara la dinàmica computacional de fluids i l'anàlisi estructural (com ara les simulacions de xocs). Normalment en l'anàlisi de dinàmica de fluids i turbulències, s'utilitza per substituir les equacions de Navier-Stokes per models més senzills de resoldre.
La descomposició ortogonal adequada s'associa amb la reducció de l'ordre del model. El model descompost ortogonalment es pot caracteritzar com un model subrogat; amb aquesta finalitat, el mètode també s'associa amb el camp de l'aprenentatge automàtic.
POD i PCA L'ús principal de la POD és descompondre un camp físic (com la pressió, la temperatura en la dinàmica de fluids o la tensió i la deformació en l'anàlisi estructural), depenent de les diferents variables que influeixen en els seus comportaments físics. Com el seu nom indica, opera una descomposició ortogonal juntament amb els components principals del camp. Com a tal, s'assimila a l'anàlisi de components principals de Pearson en el camp de l'estadística, o a la descomposició de valors singulars en àlgebra lineal, ja que es refereix als valors propis i als vectors propis d'un camp físic. En aquests dominis, està associat amb la recerca de Karhunen i Loève i el seu teorema de Karhunen-Loève.
Expressió matemàtica La primera idea darrere de la Descomposició Ortogonal Propia (POD), tal com es va formular originalment en el domini de la dinàmica de fluids per analitzar turbulències, és descompondre un camp vectorial aleatori u(x, t) en un conjunt de funcions espacials deterministes Φk(x) modulades per coeficients de temps aleatoris ak(t) de manera que:
miniatura|Instantànies de POD El primer pas és mostrejar el camp vectorial durant un període de temps en el que anomenem instantànies (tal com es mostra a la imatge de les instantànies del POD). Aquest mètode d'instantànies fa la mitjana de les mostres sobre la dimensió espacial n i les correlaciona entre si al llarg de les mostres de temps p :
amb n elements espacials i p mostres de temps
El següent pas és calcular la matriu de covariància C
miniatura A continuació, calculem els valors propis i els vectors propis de C i els ordenem del valor propi més gran al més petit.
Obtenim n valors propis λ1,... ,λn i un conjunt de n vectors propis disposats com a columnes en una matriu n × n Φ:
Referències
Categoria:Equacions en derivades parcials Categoria:Aprenentatge automàtic