Una equació diferencial parcial estocàstica (SPDE) generalitza les equacions diferencials parcials mitjançant termes i coeficients de força aleatoris, de la mateixa manera que les equacions diferencials estocàstiques ordinàries generalitzen les equacions diferencials ordinàries.

Tenen rellevància per a la teoria quàntica de camps, la mecànica estadística i la modelització espacial.

Exemples Una de les SPDE més estudiades és l'equació de calor estocàstica, que formalment es pot escriure com

on és el laplacià i denota soroll blanc espai-temps. Altres exemples també inclouen versions estocàstiques d'equacions lineals famoses, com ara l'equació d'ona i l'equació de Schrödinger.

Discussió Una dificultat és la seva manca de regularitat. En un espai unidimensional, les solucions de l'equació estocàstica de la calor són només gairebé 1/2-Hölder contínues en l'espai i 1/4-Hölder contínues en el temps. Per a dimensions dues i superiors, les solucions ni tan sols tenen valor funcional, sinó que es poden entendre com a distribucions aleatòries.

Per a equacions lineals, normalment es pot trobar una solució suau mitjançant tècniques de semigrups.

Tanmateix, comencen a aparèixer problemes quan es consideren equacions no lineals. Per exemple

on és un polinomi. En aquest cas ni tan sols és clar com s'hauria de donar sentit a l'equació. Una equació d'aquest tipus tampoc tindrà una solució amb valor funcional en dimensió més gran que una, i per tant no tindrà significat puntual. És ben sabut que l'espai de distribucions no té estructura de producte. Aquest és el problema central d'aquesta teoria. Això porta a la necessitat d'alguna forma de renormalització.

Un dels primers intents d'evitar aquests problemes per a algunes equacions específiques va ser l'anomenat truc de da Prato-Debussche, que implicava estudiar aquestes equacions no lineals com a pertorbacions de les lineals. Tanmateix, això només es pot utilitzar en configuracions molt restrictives, ja que depèn tant del factor no lineal com de la regularitat del terme de soroll de conducció. En els darrers anys, el camp s'ha expandit dràsticament i ara existeix una gran maquinària per garantir l'existència local d'una varietat d'SPDE subcrítics.

Referències

Categoria:Equacions diferencials Categoria:Equacions en derivades parcials Categoria:Probabilitat