En mecànica de fluids i matemàtiques, una superfície capil·lar és una superfície que representa la interfície entre dos fluids diferents. Com a conseqüència de ser una superfície, una superfície capil·lar no té gruix, en lleuger contrast amb la majoria d'interfícies de fluids reals. miniatura|Configuracions experimentals utilitzades per estudiar els fluxos de superfície lliure Les superfícies capil·lars són d'interès en matemàtiques perquè els problemes que hi ha implicats són molt no lineals i tenen propietats interessants, com ara la dependència discontínua de les dades de contorn en punts aïllats. En particular, les superfícies capil·lars estàtiques sense gravetat tenen una curvatura mitjana constant, de manera que una superfície mínima és un cas especial de superfície capil·lar estàtica.
També són d'interès pràctic per a la gestió de fluids a l'espai (o altres entorns lliures de forces corporals), on tant el flux com la configuració estàtica sovint estan dominats per efectes capil·lars.
L'equació de balanç d'estrès L'equació definidora d'una superfície capil·lar s'anomena equació de balanç d'esforços, que es pot derivar considerant les forces i els esforços que actuen sobre un petit volum que està parcialment delimitat per una superfície capil·lar. Per a un fluid que troba un altre fluid (l'"altre" fluid indicat amb barres) en una superfície , l'equació es llegeix
on és la normal unitària que apunta cap a l'altre fluid (aquell les quantitats del qual es representen amb barres), és el tensor de tensió (tingueu en compte que a l'esquerra hi ha un producte tensor-vector), és la tensió superficial associada a la interfície, i és el gradient superficial. Tingueu en compte que la quantitat és el doble de la curvatura mitjana de la superfície.
En mecànica de fluids, aquesta equació serveix com a condició de contorn per a fluxos interfacials, normalment complementant les equacions de Navier-Stokes. Descriu la discontinuïtat de la tensió que s'equilibra per les forces a la superfície. Com a condició de contorn, és una mica inusual, ja que introdueix una nova variable: la superfície. que defineix la interfície. No és massa sorprenent, doncs, que l'equació de balanç d'esforços normalment exigeixi les seves pròpies condicions de contorn.
Per a un ús òptim, aquesta equació vectorial normalment es converteix en 3 equacions escalars mitjançant el producte escalar amb la normal unitària i dues tangents unitàries seleccionades:
Tingueu en compte que els productes que no tenen punts són productes tensorials de tensors amb vectors (que donen lloc a vectors similars a un producte matriu-vector), mentre que els que tenen punts són productes escalars. La primera equació s'anomena equació de tensió normal, o condició de contorn de tensió normal. Les dues següents equacions s'anomenen equacions de tensió tangencial.
El tensor d'estrès El tensor de tensió està relacionat amb la velocitat i la pressió. La seva forma real dependrà del fluid específic que es tracti; per al cas comú de flux newtonià incompressible, el tensor de tensió ve donat per
on és la pressió en el fluid, és la velocitat, i és la viscositat.
Interfícies estàtiques En absència de moviment, els tensors d'esforços només produeixen pressió hidroestàtica, de manera que , independentment del tipus de fluid o de la compressibilitat. Considerant les equacions normal i tangencial,
La primera equació estableix que les forces de curvatura estan equilibrades per forces de pressió. La segona equació implica que no pot existir una interfície estàtica en presència d'un gradient de tensió superficial diferent de zero.
Si la gravetat és l'única força corporal present, les equacions de Navier-Stokes es simplifiquen significativament:
Si es trien coordenades de manera que la gravetat només sigui diferent de zero en el direcció, aquesta equació es degrada a una forma particularment simple:
on és una constant d'integració que representa una certa pressió de referència a Si substituïm això a l'equació de tensió normal, obtenim el que es coneix com a equació de Young-Laplace:
on és la diferència de pressió (constant) a través de la interfície, i és la diferència de densitat. Cal tenir en compte que, com que aquesta equació defineix una superfície, és el coordenada de la superfície capil·lar. Aquesta equació diferencial parcial no lineal, quan es subministra amb les condicions de contorn correctes, definirà la interfície estàtica.
La diferència de pressió anterior és constant, però el seu valor canviarà si la coordenada es desplaça. La solució lineal a la pressió implica que, tret que el terme de gravetat estigui absent, sempre és possible definir la coordinar de manera que No dimensionalitzada, l'equació de Young-Laplace s'estudia normalment en la forma
on (si la gravetat és negativa direcció) és positiu si el fluid més dens és "dins" de la interfície, negatiu si és "fora", i zero si no hi ha gravetat o si no hi ha diferència de densitat entre els fluids.
Aquesta equació no lineal té algunes propietats riques, especialment pel que fa a l'existència de solucions úniques. Per exemple, la inexistència d'una solució per a algun problema de valors de frontera implica que, físicament, el problema no pot ser estàtic. Si existeix una solució, normalment existirà per a valors molt específics de , que és representatiu del salt de pressió a través de la interfície. Això és interessant perquè no hi ha cap altra equació física per determinar la diferència de pressió. En un tub capil·lar, per exemple, la implementació de la condició de contorn de l'angle de contacte donarà una solució única per a exactament un valor de Les solucions sovint no són úniques, això implica que hi ha múltiples interfícies estàtiques possibles; tot i que totes poden resoldre el mateix problema de valor límit, la minimització de l'energia normalment n'afavorirà una. Les diferents solucions s'anomenen configuracions de la interfície.
Consideració energètica Una propietat profunda de les superfícies capil·lars és l'energia superficial que imparteix la tensió superficial:
on és l'àrea de la superfície que es considera, i l'energia total és la suma de totes les energies. Cal tenir en compte que cada interfície imparteix energia. Per exemple, si hi ha dos fluids diferents (per exemple, líquid i gas) dins d'un recipient sòlid amb gravetat i altres potencials d'energia absents, l'energia del sistema és
on els subíndexs , , i indiquen respectivament les interfícies líquid-gas, sòlid-gas i sòlid-líquid. Cal tenir en compte que la inclusió de la gravetat requeriria la consideració del volum tancat per la superfície capil·lar i les parets sòlides. marc|Il·lustració de forces distribuïdes a la línia de contacte, amb la línia de contacte perpendicular a la imatge. La part vertical de s'equilibra amb una lleugera deformació del sòlid (no mostrada i insignificant en aquest context). Normalment, els valors de la tensió superficial entre les interfícies sòlid-gas i sòlid-líquid no es coneixen. Això no planteja cap problema, ja que només els canvis d'energia són d'interès primari. Si l'àrea sòlida neta és una constant i l'angle de contacte és conegut, es pot demostrar que (de nou, per a dos fluids diferents en un recipient sòlid)
on és l'angle de contacte i el delta majúscul indica el canvi d'una configuració a una altra. Per obtenir aquest resultat, cal sumar les forces (distribuïdes) a la línia de contacte (on es troben el sòlid, el gas i el líquid) en una direcció tangent a la interfície sòlida i perpendicular a la línia de contacte:
on la suma és zero a causa de l'estat estàtic. Quan les solucions a l'equació de Young-Laplace no són úniques, la solució físicament més favorable és la de mínima energia, tot i que els experiments (especialment els de baixa gravetat) mostren que les superfícies metaestables poden ser sorprenentment persistents, i que la configuració més estable pot esdevenir metaestable mitjançant vibracions mecàniques sense gaire dificultat. D'altra banda, una superfície metaestable de vegades pot aconseguir espontàniament una energia més baixa sense cap aportació (almenys aparentment) amb prou temps.
Condicions de contorn Les condicions de contorn per al balanç d'esforços descriuen la superfície capil·lar a la línia de contacte: la línia on un sòlid es troba amb la interfície capil·lar; a més, les restriccions de volum poden servir com a condicions de contorn (una gota suspesa, per exemple, no té línia de contacte però clarament ha d'admetre una solució única).
Per a superfícies estàtiques, la condició de contorn de la línia de contacte més comuna és la implementació de l'angle de contacte, que especifica l'angle en què un dels fluids es troba amb la paret sòlida. La condició de l'angle de contacte a la superfície normalment s'escriu com:
on és l'angle de contacte. Aquesta condició s'imposa a la frontera (o fronteres) de la superfície. és la unitat normal cap a l'exterior a la superfície sòlida, i és una unitat normal a Elecció de depèn del fluid per al qual s'especifica l'angle de contacte.
Per a interfícies dinàmiques, la condició de contorn mostrada anteriorment funciona bé si la velocitat de la línia de contacte és baixa. Si la velocitat és alta, l'angle de contacte canviarà ("angle de contacte dinàmic"), i a partir del 2007 la mecànica de la línia de contacte en moviment (o fins i tot la validesa de l'angle de contacte com a paràmetre) no es coneix i és una àrea de recerca activa.
Referències
Categoria:Dinàmica de fluids