En matemàtiques, la geometria diferencial és la utilització de les eines del càlcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi són les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient per poder introduir la noció de derivació, i també, les funcions definides en aquestes varietats.
La geometria diferencial troba la seva principal aplicació física en la teoria de la relativitat on permet la modelització d'una curvatura de l'espaitemps. Es pot igualment citar altres aplicacions de la física clàssica. En la mecànica dels medis continus, per exemple, és útil en la descripció de les deformacions dels cossos elàstics, en particular, de les bigues o de les estructures.
Història i desenvolupament La història i el desenvolupament de la geometria diferencial com a tema comencen, pel cap baix, en l'antiguitat clàssica. Va fortament lligat al desenvolupament de la geometria més en general, a la noció de l'espai i de la forma, i a la topologia, especialment a l'estudi de les varietats. Aquesta secció està centrada principalment en la història de l'aplicació de mètodes infinitesimals a la geometria, i posteriorment a les idees d'espai tangent fins a arribar al desenvolupament del formalisme modern del tema en termes de tensors i camps tensorials.
Antiguitat clàssica fins al Renaixement (300 a.C - 1600 d.C.) L'estudi de la geometria diferencial, o com a mínim l'estudi de la geometria de formes diferenciables, pot remuntar-se fins a, pel cap baix, l'antiguitat clàssica. En particular, se sabia força sobre la geometria de la Terra, una geometria esfèrica, en els temps dels matemàtics de la Grècia antiga. Notablement, Eratòstenes va calcular la circumferència de la Terra al voltant de l'any 200 a.C., i al voltant del 150 d.C., Ptolemeu en la seva obra Geographia, va introduir la projecció estereogràfica per poder mapejar la forma de la Terra.Struik, D. J. "Outline of a History of Differential Geometry: I." Isis, vol. 19, no. 1, 1933, p. 92–120. JSTOR, www.jstor.org/stable/225188. De forma implícita al llarg d'aquest període, els principis que formen els fonaments de la grometria i el càlcul diferencial van ser usats en el camp de la geodèsica, tot i que d'una manera molt simplificada. En particular, ja en els Elements d'Euclides s'entenia que la línia recta es podia definir amb la propietat de proporcionar la distància més curta entre dos punts; i aplicant el mateix principi a la superfície de la Terra s'arribava a la conclusió que els cercles màxims, que només són similars a línies rectes del pla a nivell local, proporcionen el camí més curt entre dos punts de la superfície de la Terra. En efecte, es pot considerar que les mesures d'Eratòstenes, entre d'altres, de distàncies al llarg de tals camins geodèsics com una mesura rudimentària de la longitud d'arc de corbes, un concepte que no va tenir una definició rigorosa en termes de càlcul fins al segle XVII.
Al voltant d'aquella època, hi havia poques aplicacions manifestes de la teoria infinitesimal en l'estudi de la geometria, precursors de l'estudi modern del tema basat en el càlcul. En els Elements d'Euclides, es parla de la noció de tangencialitat d'una línia respecte d'un cercle, i Arquimedes va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular les àrees de formes suaus com ara el cercle, i els volums de sòlids tridimensionals suaus com l'esfera, els cons i els cilindres.
No hi va haver gaire desenvolupament en la teoria de la geometria diferencial entre l'antiguitat i els inicis del Renaixement. Abans del desenvolupament del càlcul, de la mà de Newton i Leibniz, l'avenç més significatiu en el camp de la geometria diferencial va venir de Gerardus Mercator i la seva projecció com a manera de mapejar la Terra. Mercator entenia les avantatges i els inconvenients del seu disseny de mapes, i en particular era conscient de la naturalesa conformal (que preserva angles) de la seva projecció, així com les diferències entre praga (les línies de distància més curtaa la Terra) i directio (la línia recta en el seu mapa). Mercator va observar que les praga eren curvatures obliqües en la seva projecció. Aquest fet reflexa la falta d'un mapa que preservi distància de la superfície de la Terra a un pla, una conseqüència del posterior teorema egregi de Gauss.
Després del càlcul (1600–1800) miniatura|Un cercle osculador d'una corba en el pla El primer tractament sistemàtic i rigorós a la geometria utilitzant la teoria d'infinitesimals i nocions del càlcul va arribar al voltant del 1600, quan es va desenvolupar per primer cop el càlcul de la mà de Gottfried Leibniz i Isaac Newton. En aquest moment, l'obra recent de René Descartes, incloses les coordenades analítiques, en el camp de la geometria va permetre que formes geomètriques de més complexitat es poguessin descriure amb rigor. En particular, en aquells moments, Pierre de Fermat, Newton i Leibniz van començar l'estudi de corbes en el pla i la recerca de conceptes com punt d'inflexió o cercle osculador, que van ajudar a mesurar la curvatura. En efecte, ja en el seu primer article Nova Methodus pro Maximis et Minimis sobre els fonaments del càlcul, Leibniz va observar que la condició inifnitesimal indica l'existència d'un punt d'inflexió. Poc després d'això, la família Bernoulli, Jakob i Johann van fer unes primeres contribucions remarcables en l'ús dels infinitesimals en l'estudi de la geometria. En classes de Johann Bernoulli d'aquella època, més tard transcrites per L'Hôpital a Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, el primer llibre de càlcul diferencial, es calcules les rectes tangents a corbes planes de diferents tipus utilitzant la condició , i de forma similar, també es calculen punts d'inflexió. En aquest mateix moment s'adonen de l'ortogonalitat entre els cercles osculadors d'una corba plana i la direcció tangent, i s'escriu la primera fórmula analítica del radi d'un cercle osculador, essencialment la primera fórmula analítica per a la noció de curvatura.
En l'estela del desenvolupament de la geometria analítica i de les corbes en el pla, Alexis Clairaut va iniciar l'estudi de les corbes en l'espai als 16 anys.Clairaut, A.C., 1731. Recherches sur les courbes à double courbure. Nyon. En el seu llibre, Clairaut va introduir la noció de direccions tangent i subtangent en les corbes a l'espai amb relació a les direccions al llarg d'una superfície en què es troba la corba. Per tant, Clairaut va demostrar una comprensió implícita de l'espai tangent d'una superfície i va estudiar aquesta idea utilitzant el càlcul per primer cop. Un fet remarcable és que Clairau va introduir els termes curvatura i doble curvatura, essencialment la noció de curvatura principal, que més tard estudiarien Gauss i altres.
En aquest mateix període, Leonhard Euler, que va ser estudiant de Johann Bernoulli, va fer importants contribucions no només al desenvolupament de la geometria, sinó també a les matemàtiques més generalment. Pel que fa a la geometria diferencial, Euler va estudiar la idea d'una geodèsic en una superfície derivant les primeres equacions geodèsiques, i més tard va introduir el primer conjunt de sistemes de coordenades intrínseques en una superfície, donant lloc a la teoria de la geometria intrínseca en què es basen les idees geomètriques modernes. Al voltant d'aquestes dates, l'estudi d'Euler de la mecànica en la seva obra Mechanica va donar lloc al descobriment que una massa que vaitja a través d'una superfície sense la influència de cap força segueix un camí geodèsic, un dels primers precursors de les idees fundacionals de la teoria d'Einstein de la relativitat general, així com de les equacions d'Euler-Lagrange i la primera teoria del càlcul de variacions, que apuntala moltes de les tècniques de la geometria diferencial moderna en geometria simplèctica i anàlisi geomètrica. La teoria va ser utilitzada per Lagrange, l'altre pare del càlcul de variacions, per derivar la primera equació diferencial per descriure una una superfície minimal en termes de l'equació d'Euler–Lagrange. L'any 1760, Euler va demostrar un teorema que expressava la curvatura d'un espai corb en una superfície en termes de les curvatures principals, conegut avui en dia com teorema d'Euler.
Més avançat el segle XVIII, la nova escola francesa literada per Gaspard Monge va començar a fer importants contribucions en la geometria diferencial. Monge va tenir un paper remarcable en el desenvolupament de la teoria de corbes planes i superfícies, i va estudiar les superfícies de revolució i envolvents de corbes planes i corbes en l'espai. Diversos estudiants de Monge van fer contribucions rellevants en aquest camp, i per exemple Charles Dupin va proporcionar una nova interpretació del teorema d'Euler en termes de les curvatures principals, que és la forma moderna de l'equació.
Geometria intrínseca i geometria no euclidiana (1800–1900) El camp de la geometria diferencial va esdevenir una àrea d'estudi per sí sola, independent del camp més ampli de la geometria anlítica, en els anys 1800, principalment per l'obra fundacional de Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann, i també arran de les importants contribucions de Nikolai Lobatxevski en geometria hiperbòlica i en geometria no euclidiana i al llarg del mateix període del desenvolupament de la geometria projectiva.
L'any 1827 Gauss va publicar Disquisitiones generales circa superficies curvas, considerada l'obra més important de la història de la geometria diferencial,Spivak, M., 1975. A comprehensive introduction to differential geometry (Vol. 2). Publish or Perish, Incorporated. en què detallava la teoria general de superfícies corbes.Gauss, C.F., 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas (Vol. 1). Typis Dieterichianis.Struik, D.J. "Outline of a History of Differential Geometry (II)." Isis, vol. 20, no. 1, 1933, p. 161–191. JSTOR, www.jstor.org/stable/224886 Per aquesta obra i pels seus articles posteriors i notes no publicades sobre la teoria de superfícies, Gauss ha estat conisderat l'inventor de la geometria no euclidiana i de la geometria diferencial intrínseca. En el seu article pioner, Gauss va introduir l'aplicació de Gauss, la curvatura gaussiana, la primera i la segona forma fonamental, va demostrar el teorema egregi demostrant la naturalesa intrínseca de la curvatura gaussiana, i va estudiar les geodèsiques, calculant l'àrea d'un triangle geodèsic en diferents geometries no euclidianes en superfícies.
En aquells moments, Gauss ja creia que s'havia de descartar el paradigme estàndard de la geometria euclidiana, i tenia en possessió manuscrits privats sobre geometria no euclidiana que l'ajudarien en el seu estudi dels triangles geodèsics. Al voltant d'aquelles dates, János Bolyai i Lobatxevski van descobrir independentment la geometria hiperbòlica i van demostrar per tant l'existència de geometries consistents més enllà del paradigme d'Euclides. Va ser Eugenio Beltrami qui va produir models concrets de geometria hiperbòlica en els anys 1860, i Felix Klein va encunyar el terme "geometria no euclidiana" l'any 1871, i a través del programa d'Erlangen va situar la geometria euclidiana i les no euclidianes en el mateix pla., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, p. 9–24. De forma implícita, la geometria esfèrica de la Terra que havia estat estudiada des de l'antiguitat era una geometria no euclidiana, una geometria el·líptica.