va ser un matemàtic alemany. És reconegut com un dels matemàtics més influents i universals de finals del i començaments del . Hilbert va descobrir i desenvolupar un ample rang d'idees fonamentals en diverses àrees com la Teoria d'Invariants i els Axiomes de la Geometria. També va formular la Teoria de l'Espai de Hilbert, un dels fonaments de l'Anàlisi funcional.
Hilbert va ser un ferm defensor de la Teoria de conjunts i dels Nombres transfinits postulats per Georg Cantor.És coneguda la seva frase «Ningú ens expulsarà del paradís que Cantor va crear per a nosaltres», pronunciada en una conferència de 1925 de la Societat Matemàtica de Westphalia. Bagaria, Joan. Una petita excursió al paradís de Cantor. (AMatemàtiques del segle XX, Manuel Castellet, editor. Fundació Caixa de Sabadell, 2003) Un conegut exemple del seu lideratge a les Matemàtiques va ser la presentació dels 23 Problemes de Hilbert al Congrés Internacional de Matemàtiques de l'any 1900 a París.
Hilbert i els seus deixebles van contribuir de forma important a establir rigor i a desenvolupar les modernes eines de la Física matemàtica. També és reconegut com un dels fundadors de la Teoria de la demostració i de la Metamatemàtica, així com per haver estat l'impulsor del Programa Formalista.
Biografia Vida primerenca Hilbert, el primer dels dos fills d'Otto i Maria Therese (nascuda Erdtmann) Hilbert, va néixer a Prússia Oriental – potser a Königsberg (d'acord amb el que afirma ell mateix) o a Wehlau (actualment Znamensk) a la vora de Königsberg on treballava el seu pare. Va començar els seus estudis al Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum, la mateixa escola on va estudiar Immanuel Kant 140 anys abans), però es va traslladar al Wilhelm Gymnasium, una escola amb més orientació científica, on es va graduar el 1880. El mateix any va ingressar a la Universitat de Königsberg, la "Albertina". Aquí va conèixer Hermann Minkowski (dos anys més jove que ell);aquesta amistat el va inclinar definitivament per les matemàtiques en contra del parer del seu pare. El 1884, va arribar a la Universitat, com a professor associat, Adolf Hurwitz procedent de Göttingen i es va establir un intens i fruitós intercanvi entre els tres. Hilbert va obtenir el seu doctorat el 1885, amb una tesi escrita sota la supervisió de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre les propietats invariants de les fórmules binàries especials, en particular de les funcions harmòniques esfèriques").
Hilbert va romandre a la Universitat de Königsberg com a professor des de 1886 fins a 1895. El 1892, Hilbert es va casar amb Käthe Jerosch (1864–1945), amb qui va tenir un fill: Franz Hilbert (1893–1969). El 1895, i gràcies a la intervenció de Felix Klein en el seu favor, va obtenir la posició de catedràtic de Matemàtiques a la Universitat de Göttingen, el centre més prestigiós de recerca en matemàtiques de l'època, en el que va romandre fins a la fi dels seus dies.
El seu fill Franz va patir de per vida una malaltia mental sense diagnosticar: la seva inferioritat intel·lectual era una decepció terrible per al seu pare i aquesta desgràcia era un assumpte de preocupació pels matemàtics i estudiants a Göttingen. Minkowski, el millor i més sincer amic de Hilbert va morir prematurament d'una apendicitis perforada el 1909.
L'escola de Göttingen Entre els deixebles de Hilbert hi ha: Hermann Weyl, el campió d'escacs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo i Karl Gustav Hempel. John von Neumann va ser el seu assistent. A la Universitat de Göttingen, Hilbert estava envoltat per un cercle social en el que hi havia molts dels més reconeguts matemàtics del com Emmy Noether, Alonzo Church, Richard Courant, Edmund Landau, Paul Bernays, etc.
Entre els seus 69 estudiants de doctorat a Göttingen n'hi ha molts que després van esdevenir famosos matemàtics, com per exemple (amb la data de la seva tesi): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), o Wilhelm Ackermann (1925). Entre els anys 1902 i 1939 Hilbert va ser editor de Mathematische Annalen, la revista de matemàtiques més important d'aquells temps.
El 1899 va publicar Grundlagen der Geometrie (Fonaments de la Geometria), un estudi sistemàtic dels seus axiomes bàsics que va representar una revolució, presentant la disciplina basada únicament en 21 axiomes i promovent l'enfocament axiomàtic de les matemàtiques. Aquesta obra es pot considerar de les més influents a les matemàtiques del .
L'any següent, 1900, Hilbert va presentar al Congrés de la Unió Matemàtica Internacional la seva conferència en la que va presentar els reptes de la Matemàtica pel segle XX: són els famosos 23 Problemes de Hilbert, entre els quals hi havia la demostració de la Hipòtesi de Riemann, encara no resolta. Va ser una conferència plena d'optimisme en el poder de les matemàtiques.
L'any 1909, David Hilbert va resoldre el problema de Waring, més de 200 anys després que fos proposat.
L'any 1928 publica amb Wilhelm Ackermann els Principis de lògica matemàtica en el que s'estableix la distinció entre Matemàtiques i Metamatemàtiques.
L'any 1930, Hilbert es va retirar, sent substituït a la càtedra per Hermann Weyl. No obstant va romandre a la ciutat de Göttingen exercint la seva influència al departament de Matemàtiques de la Universitat. El 1934 i el 1939 es van publicar els dos volums de Grundlagen der Mathematik (Fonaments de les Matemàtiques) en col·laboració amb Paul Bernays i en els que intentava establir una Teoria de la demostració.
Últims anys Hilbert encara vivia quan el Nazisme va esporgar molts dels prominents membres de la Universitat de Göttingen el 1933. Aquesta persecució va obligar a exiliar-se a Hermann Weyl (el seu successor), Emmy Noether, Otto Neugebauer, Richard Courant i altres. Altres col·legues van tenir menys sort: Edmund Landau va morir el 1938 i Otto Blumenthal va ser deportat i mort en el Camp de concentració de Theresienstadt.
El 1934, Hilbert va ser invitat a un banquet en el que estava assegut a la vora del nou Ministre d'Educació, Bernhard Rust. Rust li va preguntar, Com estan les matemàtiques a Göttingen, ara que les hem alliberat de la influència jueva? Hilbert va respondre, Matemàtiques a Göttingen? Ja no en queden!. miniatura|Tomba de Hilbert a GöttingenWir müssen wissenWir werden wissen Quan Hilbert moria el 1943, en plena Guerra Mundial, els nazis havien canviat tot el personal de la Universitat, ja que la major part dels membres del departament eren jueus, estaven casats amb jueus o tenien simpaties esquerranes. Al funeral de Hilbert hi van assistir només una dotzena de persones, de les quals només dues eren col·legues acadèmics, entre ells Arnold Sommerfeld, un físic teòric també nadiu de Königsberg. La notícia de la seva mort només va ser mundialment coneguda al cap de sis mesos.
L'epitafi gravat a la seva tomba al cementiri de Göttingen és el famós epigrama que va donar com a conclusió en el seu discurs de comiat en retirar-se el 1930: Wir müssen wissen, Wir werden wissen ("Hem de saber, sabrem"). Aquestes paraules eren una resposta a la màxima llatina d'Emil du Bois-Reymond Ignoramus et ignorabimus ("No sabem i no sabrem").
Solució de Hilbert al problema de Gordan El primer treball de Hilbert sobre les funcions invariants el va portar el 1888 a la demostració del seu famós teorema de finitud. Vint anys abans, Paul Gordan havia demostrat el teorema de la finitud dels generadors per a les fórmules binàries, utilitzant una aproximació computacional complexa. Els intents de generalitzar el seu mètode a funcions amb més de dues variables van fallar a causa de la dificultat enorme que implicaven els càlculs. Per a solucionar el que es coneixia en alguns cercles com el Problema de Gordan, Hilbert es va adonar que era necessari agafar un camí completament diferent. Com a resultat, va demostrar el teorema de base de Hilbert, demostrant l'existència d'un conjunt finit de generadors, pels invariants de les fórmules algebraiques amb qualsevol nombre de variables, però d'una manera abstracta. És a dir, demostrant l'existència del conjunt, però sense construir-lo —no va mostrar "un objecte"— sinó que simplement en va demostrar l'existència, i es basava en el principi del tercer exclòs en una extensió infinita.
Hilbert va enviar els seus resultats al Mathematische Annalen. Gordan, l'expert de la teoria d'invariants del Mathematische Annalen, no va apreciar la naturalesa revolucionària del teorema de Hilbert i va refusar l'article, criticant l'exposició perquè no era suficientment comprensible. El seu comentari fou:
Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. (Això no és Matemàtiques. Això és Teologia.)
Klein, d'altra banda, va reconèixer la importància del treball, i va garantir que seria publicat sense cap alteració. Animat per Klein, Hilbert, en un segon article, va estendre el seu mètode, proporcionant estimacions sobre el grau màxim del conjunt de generadors més petit, i ho va enviar un cop més al Annalen. Després d'haver-hi llegit el manuscrit, Klein li va escriure, dient:
Sens dubte això és la feina més important en àlgebra general que lAnnalen mai ha publicat.>
Més tard, després que la utilitat del mètode de Hilbert fos universalment reconeguda, Gordan li diria:
M'he convençut que fins i tot la teologia té els seus mèrits.
Pel seu èxit, la naturalesa de la seva demostració va aixecar més problemes dels que Hilbert podria haver imaginat en aquell moment. Tot i que Kronecker l'havia admès, Hilbert més tard respongué a altres crítiques similars afirmant que "moltes construccions diferents estan subsumides sota un idea fonamental"; en altres paraules, citant Constance Reid: A través d'una prova d'existència, Hilbert havia estat capaç d'obtenir una construcció: "La demostració" era "l'objecte". No tots estaven convençuts. Mentre Kronecker moriria poc temps després, la seva filosofia constructivista continuaria amb el jove Brouwer i el seu desenvolupament de l'escola intuicionista, per a turment de Hilbert en els anys següents. De fet Hilbert perdria el seu "alumne superdotat", Weyl, que es va passar a l'intuïcionisme — "Hilbert es va molestar per la fascinació del seu antic deixeble amb les idees de Brouwer, el qual va despertar dins Hilbert la memòria de Kronecker". Brouwer, l'intuïcionista, en particular, es va oposar a la utilització del Principi del tercer exclòs sobre conjunts infinits (mentre Hilbert l'havia utilitzat). Hilbert respongué:
Agafar el Principi del Tercer Exclòs de les matemàtiques ... És el mateix que ... Prohibir al boxejador l'ús dels seus punys.
Axiomatització de geometria
El text Grundlagen der Geometrie (Fonaments de Geometria) publicat per Hilbert el 1899 proposa un conjunt formal, els Axiomes de Hilbert, substituint les tradicionals definicions, postulats i nocions comunes dels Elements d'Euclides. Eviten les debilitats identificades a les definicions d'Euclides, obra encara vigent i llibre de referència per la geometria de l'època. Poc després, el 1902, un jove de 19 anys l'estudiant americà Robert Lee Moore va demostrar que un dels axiomes de Hilbert (el conegut teorema de Pasch) era innecessari per redundant.
L'aproximació de Hilbert assenyalava el canvi al modern sistema axiomàtic. En això, el treball de Peano en aritmètica, es va anticipar a Hilbert, el 1889. Els axiomes no es prenen com a veritats manifestes. La matemàtica pot tractar coses, de les quals tenim intuïcions poderoses, però no cal assignar un significat explícit als conceptes no definits. Elements, com punt, Recta, Pla, i altres, podrien ser substituïts, com Hilbert diu, per taules, cadires, gerres de cervesa i altres objectes.