miniatura|Propietat commutativa: 3 × 4 = 12 = 4 × 3 dotze elements poden ser ordenats en tres files de quatre o quatre columnes de tres. La multiplicació és una operació aritmètica resultat d'un cas particular de la suma.
Quan tots els sumands d'una suma són iguals, es pot simplificar. Així, si el nombre m se suma n vegades, es diu que es multiplica el nombre m pel nombre n. Els nombres que es multipliquen en una multiplicació, s'anomenen factors, i el resultat de la multiplicació s'anomena producte.
La multiplicació s'indica amb una creu, ×, o un punt, ⋅. En computació s'acostuma a utilitzar l'asterisc * (ús originari en el llenguatge FORTRAN). En un monomi, es considera que tots els components del monomi es multipliquen sense necessitat d'indicar cap símbol de multiplicació.
Exemples: 5⋅2 = 5 +5 = 10 2⋅5 = 2 +2 +2 +2 +2 = 10 4⋅3 = 4 +4 +4 = 12 m⋅6 = m +m +m +m +m +m
Igual que la suma, la multiplicació és una operació interna dins els nombres naturals, els enters, els racionals, els reals i els complexos.
També es poden multiplicar altres entitats matemàtiques, com polinomis, vectors o matrius.
Propietats de la multiplicació Uniforme: Si als dos membres d'una igualtat se'ls multiplica un mateix nombre, queda una altra igualtat com a resultat.
Monotonia: Si als dos membres d'una desigualtat matemàtica se'ls multiplica un mateix nombre positiu, queda una altra desigualtat del mateix sentit. En el cas que el multiplicant sigui negatiu la desigualtat canvia de sentit.
Associativa: Dos o més factors d'una multiplicació es poden substituir pel seu producte sense afectar el resultat.
Commutativa: L'ordre dels factors no afecta el valor del producte.
Distributiva: Amb la suma, es compleix la següent igualtat:
En general:
En aquesta igualtat a rep el nom de factor comú. A l'acció de fer aquesta operació a l'inrevés s'anomena treure factor comú
Exemples de treure factor comú:
15 +20 -30 = 5⋅(3 +4 -6)
10 +8 -6 = 2⋅(5 +4 -3)
Element neutre: L'element neutre de la multiplicació és l'1, de manera que:
3⋅1 = 3
Multiplicació per zero: Qualsevol multiplicació d'un nombre real per zero és igual a zero.
Notació En aritmètica, la multiplicació s'escriu sovint amb el signe de multiplicació ( o ) entre els factors (és a dir, en notació infixa). Per exemple,v
("dos per tres és igual a sis")
El signe de la creu va ser utilitzat per primera vegada per Edward Wright el 1618 . Hi ha altres notacions matemàtiques per a la multiplicació:
La multiplicació també es denota per un punt de posició mitjana: El punt mitjà va ser utilitzat per primera vegada per G. W. Leibniz en 1698, perquè el signe de multiplicació × es confon fàcilment amb la variable matemàtica comuna . La notació de punt mitjà, o operador de punt, és ara estàndard als Estats Units i altres països. Quan el caràcter de l'operador de punt no és accessible, s'utilitza l'interpunct (). En la majoria dels països europeus i altres que utilitzen una coma com a punt decimal (i un període com a separador de milers), el signe de multiplicació o un punt mitjà s'utilitza per a indicar la multiplicació. Històricament, al Regne Unit i Irlanda, el punt mig es va utilitzar a vegades per al punt decimal per a evitar que desaparegués en la línia reglada, i la parada completa (període) es va utilitzar per a la multiplicació. No obstant això, des que el Ministeri de Tecnologia va dictaminar el 1968 que el període s'utilitzés com a punt decimal, i des de llavors la norma del Sistema Internacional d'Unitats (SI) ha estat àmpliament adoptada, aquest ús es troba ara només en les revistes més tradicionals com The Lancet.
En àlgebra, la multiplicació que implica variables sovint s'escriu com una juxtaposició (per exemple, per a vegades o per a cinc vegades), també anomenada multiplicació implícita. La notació també es pot usar per a quantitats que estan envoltades de parèntesis (per exemple, o per a cinc vegades dues). Aquest ús implícit de la multiplicació pot causar ambigüitat quan les variables concatenades coincideixen amb el nom d'una altra variable, quan un nom de variable davant d'un parèntesi pot confondre's amb un nom de funció, o en la determinació correcta de l'ordre de les operacions.
En la multiplicació vectorial, hi ha una distinció entre els símbols de creu i de punt. El símbol d'encreuament generalment denota prendre un producte d'encreuament de dos vectors, produint un vector com el seu resultat, mentre que el punt denota prendre el producte de punt de dos vectors, donant com a resultat un escalar.
En programació informàtica, l’asterisc (com en 5*2) continua sent la notació més comuna. Això és degut a que la majoria d'ordinadors històricament estaven limitats a conjunts de caràcters petits (com ara ASCII i EBCDIC) que no tenien un signe de multiplicació (com ara × o ⋅), mentre que l'asterisc apareixia a tots els teclats. Aquest ús es va originar en el llenguatge de programació Fortran. (Ni tan sols els compiladors moderns reconeixen × o ⋅ com a operadors de multiplicació.)
Els nombres que s'han de multiplicar generalment s'anomenen factors (com en la factorització). El nombre que s'ha de multiplicar és el multiplicand, i el nombre pel qual es multiplica és el multiplicador. Normalment, el multiplicador es col·loca primer i el multiplicand en segon; tanmateix, de vegades el primer factor es considera el multiplicand i el segon el multiplicador. A més, com que el resultat de la multiplicació no depèn de l'ordre dels factors, la distinció entre multiplicand i multiplicador només és útil a un nivell molt elemental i en alguns algoritmes de multiplicació, com ara la multiplicació llarga. Per tant, en algunes fonts, el terme multiplicand es considera sinònim de factor. En àlgebra, un nombre que és el multiplicador d'una variable o expressió (per exemple, el 3 a ) s'anomena coeficient.
El resultat d'una multiplicació s'anomena producte. Quan un factor és un nombre enter, el producte és un múltiple de l'altre o del producte dels altres. Així, és un múltiple de , tal com és . Un producte d’enters és un múltiple de cada factor; per exemple, 15 és el producte de 3 i 5 i és alhora múltiple de 3 i múltiple de 5.
Definicions Referències
Vegeu també Factorització Invers multiplicatiu Multiplicació de matrius Potenciació Taula de multiplicar
Enllaços externs
Multiplicació
Categoria:Aritmètica Categoria:Notació matemàtica