Za uređenu trojku prirodnih brojeva kažemo da je Heronova ako trougao čije stranice imaju dužine a, b i c ima cjelobrojnu površinu. Smatračemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom Neki primjeri Heronovih trojki su: , , , Heronova trojka koja je aritmetički niz Neka je Heronova trojka koja je ujedno i rastući aritmetički niz. Tada je ¡ , , pa je prema Heronovom obrascu
Smjenom i skračivanjem sa dobijamo
Kako je parno za dobijamo
Da bi rješenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti Za
pa je , i . Dobili smo trojku ( koja je osnovna Pitagorina trojka Za dobijamo trojku ( ujedno je i Pitagorina Za dobijamo trojku ( i Za dobijamo trojku (, i
Prave Heronove trojke Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne čine Pitagorinu trojku, kazemo da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rješenja jednačine za dobijaju prave Heronove trojke. U slučaju da je vrijednost izraza neparno U slučaju da je vrijednost izraza parno Neka je Ako je parno onda je za i
za i
Brojevi , , , nisu uzajamno prosti Heronove trojke sa uzastopnim članovima Poseban slucaj jednačine za se dobija za . On se odnosi na Heronove trojke koje čine aritmetički niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slučaju dobija se
Osnovno rješenje je , jer je za
Kako je imamo
što je uslov i daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) čiji su članovi tri uzastopna prirodna broja. U sljedećoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin
n 1 3 456 2 13 14 1584 3 51 52 531170 4 193 194 19516296 5 723 724 725226974 Rekurentna formula za niz površina Heronovih trouglova Posmatrajući posllednju kolonu prethodne tabele, empirijskom indukcijom može se zaključiti da važi formula
Neka je i srednja po veličini stranica n-tog Heronovog trougla kome su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule može se izraziti niz površina tih trouglova u funkciji od . Nije teško utvrditi da je
Za dobijamo
Reference
HERONOVE TROJKE KAO ARITMETIČKI NIZOVI
Kategorija:Aritmetički problemi u geometriji euklidske ravni