Posmatrajmo polinom trećeg stepena za koja siječe x-osu u tačkama koje su nule odgovarajuće jednačine trećeg stepena (kubne jednačine).
Vieteove formule Rješenja jednačine zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula Vietove formule
Primjer
i ima nule, rješenja
U jednačini
smjenom
postaje
za i
Diskriminanta kubne jednačine Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta Diskriminanta kubne jednačine
pripadnog polinoma : gdje su korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi
Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima. I izraz je diskriminanta Osobine rješenja jednačine Za ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja Za ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje Za ima sva tri realna i različita rješenja
Primjer Jednačina smjenom
postaje
Jednačina smjenom
postaje
Ovdje smo nepoznatu zamijenili sa 2 nove i . uvodimo novi uslov
pa je
Iz
dobijamo
Sistem ekvivlentan je sa
Iz kojeg dobijamo
za Njenim rješavanjem dobijamo
Vračanjem druge smjene dobijamo
IZ
pa je tj. jedno rješenje jednačine je
Parovi (u,v) su rješenja sistema
Iz jednačina
slijedi , ,
, ,
gdje su treči korjeni jedinice
Odnosno sva rješenja jednačine
data su formulom , ,
koje se također nazivaju Kardanove formule. U našem slučaju (za ) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj ) nazivamo nesvodljiv slučaj. Za i imamo
pa je i imamo 2 slučaja ,
Iz ovoga je
=>
=>
pa je rješenje polaznog primjera
Opća rješenja Opće rješenje za svaku kubnu jednačinu
je
Izvor
Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011. Reference
Kategorija:Elementarna algebra Kategorija:Jednačine Kategorija:Polinomi