Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу , што .
Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:
Прыклады
Уласцівасці
Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .
Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:
яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні. яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс. матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: , дзе — артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі. Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне , то яна мае дыяганальны выгляд: , дзе — адзінкавая матрыца, у любым базісе .
Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы
Сіметрычная матрыца памерам з’яўляецца станоўча вызначанай, калі . Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці. Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.
Катэгорыя:Тыпы матрыц