Utożsamienie z sprawia, że funkcje holomorficzne pokrywają się z tymi funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o ciągłych pierwszych pochodnych, które są rozwiązaniami równań Cauchy’ego-Riemanna, układu dwóch równań różniczkowych cząstkowych.
Każda funkcja holomorficzna może być przedstawiona jako suma swoich części rzeczywistej i urojonej, a każda z nich jest rozwiązaniem równania Laplace’a na Innymi słowy, jeżeli wyrazi się funkcję holomorficzną jako to tak jak i są funkcjami harmonicznymi.
Tam gdzie pierwsza pochodna nie zeruje się, funkcje holomorficzne są konforemne (równokątne) w tym sensie, iż zachowuje kąt i kształt (ale nie rozmiar) małych figur.
Wzór całkowy Cauchy’ego zapewnia, że każda funkcja holomorficzna wewnątrz pewnego koła jest całkowicie określona przez wartości na brzegu tego koła.
Każda funkcja holomorficzna jest analityczna. Oznacza to, że funkcja holomorficzna ma pochodne dowolnego rzędu w każdym punkcie swojej dziedziny i pokrywa się ze swoim szeregiem Taylora względem punktu w otoczeniu Rzeczywiście, pokrywa się ze swoim szeregiem Taylora względem w dowolnym kole o środku w tym punkcie, które leży wewnątrz dziedziny tej funkcji.