Jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie to funkcję nazywa się holomorficzną na Funkcja jest holomorficzna w punkcie jeżeli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu Funkcja jest holomorficzna na pewnym nieotwartym zbiorze jeżeli jest holomorficzna na zbiorze otwartym zawierającym
Związek między różniczkowalnością w sensie rzeczywistym i w sensie zespolonym jest następujący: jeżeli funkcja zespolona jest holomorficzna, to i mają pierwsze pochodne cząstkowe względem oraz i spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna:
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Prostym odwróceniem tego wyniku jest, że jeżeli oraz mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna, to wtedy jest holomorficzna. Bardziej zadowalającym odwróceniem, które nastręcza więcej trudności przy dowodzie, jest twierdzenie Loomana-Menchoffa: jeżeli jest ciągła, a i mają pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna, to jest holomorficzna.
Własności Ponieważ różniczkowanie w sensie zespolonym jest liniowe i spełnia reguły iloczynu, ilorazu i łańcuchową , to sumy, iloczyny i złożenia funkcji holomorficznych są holomorficzne, a iloraz dwóch funkcji holomorficznych jest holomorficzny tam, gdzie mianownik jest różny od zera.