Podstawowe twierdzenia thumb|Suma wektorów. Wektor v jest dodany do wektora w. thumb|Mnożenie wektorów. Wektor v jest mnożony przez 2, a następnie dodany do w.

Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

Twierdzenie 1: Wektor zerowy jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli oraz to:

Twierdzenie 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego jest:

Twierdzenie 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego zachodzi

gdzie – element neutralny dodawania w

Twierdzenie 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.

wtedy i tylko wtedy, gdy lub

Twierdzenie 5: Wektor odwrotny względem dodawania do jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli są odwrotnościami takimi, że oraz to

Wektor nazywa się wektorem przeciwnym do

Definicja (różnicy wektorów): Różnicą wektora i wektora nazywa się wektor, który jest sumę wektora i wektora przeciwnego do wektora tj.

Twierdzenie 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego mamy

gdzie oznacza element odwrotny względem mnożenia w

Twierdzenie 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj.