(Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód: Niech będzie przestrzenią Hausdorffa, a jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że jest domknięty uzasadnimy, że jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru Niech Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie punktu oraz otoczenie punktu takie że Rodzina stanowi otwarte pokrycie Na mocy zwartości istnieje skończone podpokrycie Każdy zbiór jest rozłączny z odpowiednim zbiorem Zatem przekrój jest rozłączny z każdym ze zbiorów Więc jest otoczeniem które jest rozłączne z Z dowolności wynika, że zbiór jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech będzie domknięty i niech będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni w przestrzeń Hausdorffa Wówczas jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8.