stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę cnd.
Własności Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty. Dowód: Niech będzie przestrzenią zwartą, a odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru Wtedy jest otwartym pokryciem Istotnie, otwartość elementów rodziny od razu wynika z ciągłości Ponadto dla dowolnego istnieje zbiór taki że Dlatego też Na mocy zwartości istnieje skończona rodzina zbiorów będąca pokryciem Zatem rodzina jest otwartym, skończonym pokryciem Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór jest zwarty, cnd.
Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa o kresach)
Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.
Dowód: Niech będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej Wówczas jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność oznacza, że jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości wynika że oraz Zatem przyjmuje swoje kresy, cnd.
Tw. 6.