Cooka.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta Niech oraz oznacza grupę permutacji zbioru

Definicja 1.

Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów nazywamy element przestrzeni tensorowej taki że

Definicja 2.

Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów nazywamy element przestrzeni tensorowej taki że

gdzie – znak permutacji (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Definicja 3.

n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni generowanej przez wektory gdzie przebiegają całą przestrzeń

Definicja 4.

n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni generowanej przez wektory gdzie przebiegają całą przestrzeń

Oznaczenia:

– n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni

– n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni

Iloczyny tensorowe symetryczny oraz antysymetryczny tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:

(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe tzn.